問題
点を原点とする座標平面上のでない2つのベクトル
に対して，とおく。以下の問いに答えよ。
(1) とが平行であるための必要十分条件はであることを示せ。
以下，であるとする。
(2) 座標平面上のベクトル，で
を満たすものを求めよ。
(3) 座標平面上のベクトルに対して
を満たす実数とを，，を用いて表せ。
方針
解法1（標準解法）
(1) は が2つのベクトルの平行条件を表すことを、成分の比例で両方向に示す。(2) は 、 とおき、内積条件から2元連立方程式を解く。(3) は、(2) で作った が係数を取り出す役割を持つことを使い、両辺との内積から を読む。
解法2（90度回転したベクトルを使う方法）
を90度回転した を用いる。 は と の内積なので平行条件が直ちに読める。(2) では に垂直な と に垂直な を で規格化して，係数を取り出す双対ベクトルを構成する。
解答
解法1（標準解法）
(1)
まず と が平行であるとする。すると、ある実数 によって と表せる。したがって である。
逆に 、すなわち とする。 のときは であるから となり、 と は平行である。 のとき、 は零ベクトルでないので である。このとき より であり、 となる。したがってこの場合も2つのベクトルは平行である。
以上より、 と が平行であるための必要十分条件は である。
(2)
とおく。条件
は である。係数の行列式は なので、連立方程式は一意に解け、 である。よって である。
同様に とおくと、条件
は であり、これを解いて を得る。したがって である。
(3)
の両辺と の内積をとると、(2) の条件より
である。したがって である。同様に両辺と の内積をとると となる。よって求める表し方は
である。
解法2（90度回転したベクトルを使う方法）
(1)
とおくと
なので， である。平面上で であることは， が と平行であることと同値である。よって平行であるための必要十分条件は である。
(2)
は に垂直であり，
したがって
とおけば， となる。
同様に は に垂直で， だから
が残りの2条件を満たす。
(3)
の両辺と の内積をとれば だけが残り， の内積をとれば だけが残る。よって
である。