九州大学 2023年度 前期日程 一般選抜文系数学 第3問

(1)
まず $\overrightarrow{m}$ と $\overrightarrow{n}$ が平行であるとする。すると、ある実数 $\lambda$ によって $(b,d)=\lambda (a,c)$ と表せる。したがって $$D=ad-bc=a(\lambda c)-(\lambda a)c=0$$ である。

逆に $D=0$、すなわち $ad-bc=0$ とする。$a\mathrm{\ne }0$ のときは $$d=\frac{bc}{a}$$ であるから $$(b,d)=\frac{b}{a}(a,c)$$ となり、$\overrightarrow{m}$ と $\overrightarrow{n}$ は平行である。$a=0$ のとき、$$\overrightarrow{m}=(a,c)$$ は零ベクトルでないので $c\mathrm{\ne }0$ である。このとき $D=-bc=0$ より $b=0$ であり、$$(b,d)=(0,d)=\frac{d}{c}(0,c)$$ となる。したがってこの場合も2つのベクトルは平行である。

以上より、$\overrightarrow{m}$ と $\overrightarrow{n}$ が平行であるための必要十分条件は $D=0$ である。

(2) $$\overrightarrow{v}=(x,y)$$ とおく。条件$$\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{v}=1,\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{v}=0$$は $ax+cy=1,bx+dy=0$ である。係数の行列式は $ad-bc=D\mathrm{\ne }0$ なので、連立方程式は一意に解け、$$x=\frac{d}{D},y=-\frac{b}{D}$$ である。よって $$\overrightarrow{v}=(\frac{d}{D},-\frac{b}{D})$$ である。

同様に $$\overrightarrow{w}=(X,Y)$$ とおくと、条件$$\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{w}=0,\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{w}=1$$は $aX+cY=0,bX+dY=1$ であり、これを解いて $$X=-\frac{c}{D},Y=\frac{a}{D}$$ を得る。したがって $$\overrightarrow{w}=(-\frac{c}{D},\frac{a}{D})$$ である。

(3) $$r\overrightarrow{m}+s\overrightarrow{n}=\overrightarrow{q}$$ の両辺と $\overrightarrow{v}$ の内積をとると、(2) の条件より$$r(\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{v})+s(\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{v})=r$$である。したがって $$r=\overrightarrow{q}\cdot \overrightarrow{v}$$ である。同様に両辺と $\overrightarrow{w}$ の内積をとると $$s=\overrightarrow{q}\cdot \overrightarrow{w}$$ となる。よって求める表し方は$$r=\overrightarrow{q}\cdot \overrightarrow{v},s=\overrightarrow{q}\cdot \overrightarrow{w}$$である。

$(x,y)$ を90度回転した $(-y,x)$ を用いる。$D$ は $\overrightarrow{n}$ と ${\overrightarrow{m}}^{\perp }$ の内積なので平行条件が直ちに読める。(2) では $\overrightarrow{n}$ に垂直な $(d,-b)$ と $\overrightarrow{m}$ に垂直な $(-c,a)$ を $D$ で規格化して，係数を取り出す双対ベクトルを構成する。

(1) $${\overrightarrow{m}}^{\perp }=(-c,a)$$とおくと$$\overrightarrow{n}\cdot {\overrightarrow{m}}^{\perp }=(b,d)\cdot (-c,a)=ad-bc=D\mathrm{.}$$$$\overrightarrow{m}\mathrm{\ne }\overrightarrow{0}$$ なので，$${\overrightarrow{m}}^{\perp }\mathrm{\ne }\overrightarrow{0}$$ である。平面上で$$\overrightarrow{n}\cdot {\overrightarrow{m}}^{\perp }=0$$ であることは，
$\overrightarrow{n}$ が $\overrightarrow{m}$ と平行であることと同値である。
よって平行であるための必要十分条件は $D=0$ である。

(2)
$(d,-b)$ は $\overrightarrow{n}=(b,d)$ に垂直であり，$$\overrightarrow{m}\cdot (d,-b)=ad-bc=D\mathrm{.}$$したがって$$\overrightarrow{v}=\frac{1}{D}(d,-b)=(\frac{d}{D},-\frac{b}{D})$$とおけば$$\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{v}=1$$，$$\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{v}=0$$ となる。

同様に $(-c,a)$ は $\overrightarrow{m}$ に垂直で，$$\overrightarrow{n}\cdot (-c,a)=D$$ だから$$\overrightarrow{w}=\frac{1}{D}(-c,a)=(-\frac{c}{D},\frac{a}{D})$$が残りの2条件を満たす。

(3) $$r\overrightarrow{m}+s\overrightarrow{n}=\overrightarrow{q}$$の両辺と $\overrightarrow{v}$ の内積をとれば $r$ だけが残り，
$\overrightarrow{w}$ の内積をとれば $s$ だけが残る。よって$$r=\overrightarrow{q}\cdot \overrightarrow{v},s=\overrightarrow{q}\cdot \overrightarrow{w}$$である。