名古屋大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

点 $P$ を $P=(x,x^2-4)$ とおく。点 $P$ は $B(-2,0)$ から $A(2,0)$ まで動くので $-2\leqq x\leqq 2$ である。

距離 $PA$ を最大にするには，その2乗 $P{A}^2$ を最大にすればよい。点 $A=(2,0)$ であるから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P{A}^2}& {\displaystyle =(x-2{)}^2+(x^2-4{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(x-2{)}^2\{1+(x+2{)}^2\}}\end{array}$$である。

ここで $t=2-x$ とおくと，$-2\leqq x\leqq 2$ より $0\leqq t\leqq 4$ である。また $x+2=4-t$ なので $P{A}^2=t^2\{1+(4-t{)}^2\}$ となる。これを $F(t)=t^2\{1+(4-t{)}^2\}$ とおく。微分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle F^{\mathrm{\prime }}(t)}& {\displaystyle =2t\{1+(4-t{)}^2\}-2t^2(4-t)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2t(2t^2-12t+17)}\end{array}$$である。したがって $0<t<4$ の候補は $2t^2-12t+17=0$ より $$t=3\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$$ である。

符号を見ると，$F(t)$ は $0<t<3-\sqrt{2}\mathrm{/}2$ で増加し，$3-\sqrt{2}\mathrm{/}2<t<3+\sqrt{2}\mathrm{/}2$ で減少し，その後また増加する。よって $t=3-\sqrt{2}\mathrm{/}2$ は極大，$t=3+\sqrt{2}\mathrm{/}2$ は極小である。

端点も比較する。 $F(0)=0,F(4)=16$ であり，$$F(3-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}})={\displaystyle \frac{71}{4}}+2\sqrt{2}>16$$ である。したがって最大は $$t=3-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$$ のときである。よって $$x=2-t=-1+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$$ となる。

求める $x$ 座標は $-1+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$ である。

置換をせずに $x$ のまま距離の2乗を微分する。導関数を因数分解し，区間内の停留点2個と両端を比較する。最後に放物線・最大点・点 $A$ を図示して，得られた位置関係を確認する。

点 $P$ を $(x,x^2-4)$ とおく。ただし $-2\leqq x\leqq 2$ である。距離の2乗を $D(x)$ とすると$$D(x)=(x-2{)}^2+(x^2-4{)}^2=(x-2{)}^2\{1+(x+2{)}^2\}$$である。微分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle D^{\mathrm{\prime }}(x)}& {\displaystyle =2(x-2)\{1+(x+2{)}^2\}+2(x-2{)}^2(x+2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2(x-2)(2x^2+4x+1)}\end{array}$$となる。区間内の停留点は$$x=-1\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$$である。

導関数の符号，または各候補での値を比較すると$$\begin{array}{cc}x& D(x)\\ -2& 16\\ -1-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}& {\displaystyle \frac{71}{4}}-2\sqrt{2}\\ -1+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}& {\displaystyle \frac{71}{4}}+2\sqrt{2}\\ 2& 0\end{array}$$である。したがって最大となるのは$$x=-1+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$$である。