名古屋大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験 関数・微分文系数学 第3問(a)

求める3次式を $f(x)=A{x}^3+B{x}^2+Cx+D$ とおく。

条件 (i) より、$f(x)$ を $(x-2{)}^2$ で割った余りは $2x+1$ である。したがって $f(2)=2\cdot 2+1=5$ であり、さらに導関数についても余りの導関数と一致して $f^{\mathrm{\prime }}(2)=2$ である。
また条件 (ii) より、$x=1$ で極値 $2$ をとるので $f(1)=2,f^{\mathrm{\prime }}(1)=0$ である。 $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3A{x}^2+2Bx+C$ だから、4条件は $8A+4B+2C+D=5,$ $12A+4B+C=2,$ $A+B+C+D=2,$ $3A+2B+C=0$ である。
これを解く。第2式から第4式を引くと $9A+2B=2$ である。また第1式から第3式を引くと $7A+3B+C=3$ である。第4式 $C=-3A-2B$ を用いると $4A+B=3$ を得る。したがって $A=-4,B=19$ であり、$C=-3A-2B=12-38=-26$ である。最後に $A+B+C+D=2$ から $D=13$ である。

得られた整式では $$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(1)=6A+2B=-24+38=14>0$$ なので、$x=1$ は実際に極小点であり、その値は $2$ である。よって求める整式は $-4x^3+19x^2-26x+13$ である。

2重因子の余りは、値と導関数の値を同時に固定する

余り条件を最初から
$f(x)=(x-2{)}^2(mx+n)+2x+1$ と組み込む。
あとは $f(1)=2,f^{\mathrm{\prime }}(1)=0$ の2条件だけで $m,n$ を決め、
2階微分で実際に極値になることを確認する。

条件(i)を満たす3次式は$$f(x)=(x-2{)}^2(mx+n)+2x+1(m\mathrm{\ne }0)$$と表せる。$x=1$ での値から$$\begin{array}{cccc}& f(1)=m+n+3=2,m+n=-1.& & \text{(1)}\end{array}$$また$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2(x-2)(mx+n)+m(x-2{)}^2+2$$なので$$f^{\mathrm{\prime }}(1)=-2(m+n)+m+2=0.$$(1)を用いると $m=-4$、$n=3$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x)}& {\displaystyle =(x-2{)}^2(-4x+3)+2x+1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-4x^3+19x^2-26x+13.}\end{array}$$さらに$$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(1)=14>0$$だから、$x=1$ では実際に極小値2をとる。