名古屋大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

条件 (ii) より$${\int }_0^1(ax-b{x}^2)dx={\displaystyle \frac{a}{2}}-{\displaystyle \frac{b}{3}}=1$$である。したがって $$a=2+{\displaystyle \frac{2b}{3}}$$ と表せる。

次に条件 (i) を調べる。$x=0$ では $f(0)=0$ である。$0<x\leqq 1$ では $f(x)=x(a-bx)$ であり、$x>0$ だから $a-bx\geqq 0$ が必要十分である。ここで $b\geqq 0$ より $a-bx$ は $x$ について減少するので、区間 $[0,1]$ で最も小さいのは $x=1$ のときである。よって $a-b\geqq 0$ が条件である。$$a=2+{\displaystyle \frac{2b}{3}}$$ を代入すると $$2+{\displaystyle \frac{2b}{3}}-b=2-{\displaystyle \frac{b}{3}}\geqq 0$$ となる。はじめから $b\geqq 0$ であるから $0\leqq b\leqq 6$ である。

回転体の体積は$$V=\pi {\int }_0^1(ax-b{x}^2{)}^{2}dx$$である。被積分関数を展開して $$(ax-b{x}^2{)}^2=a^2{x}^2-2ab{x}^3+b^2{x}^4$$ だから $${\displaystyle \frac{V}{\pi }}={\displaystyle \frac{a^2}{3}}-{\displaystyle \frac{ab}{2}}+{\displaystyle \frac{b^2}{5}}$$ である。ここに $$a=2+{\displaystyle \frac{2b}{3}}$$ を代入すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{V}{\pi }}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{3}}{(2+{\displaystyle \frac{2b}{3}})}^2-{\displaystyle \frac{b}{2}}(2+{\displaystyle \frac{2b}{3}})+{\displaystyle \frac{b^2}{5}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4}{3}}-{\displaystyle \frac{b}{9}}+{\displaystyle \frac{2b^2}{135}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{135}}{(b-{\displaystyle \frac{15}{4}})}^2+{\displaystyle \frac{9}{8}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって $0\leqq b\leqq 6$ における最小値は $$b={\displaystyle \frac{15}{4}}$$ のとき $${\displaystyle \frac{V}{\pi }}={\displaystyle \frac{9}{8}}$$ である。

一方、この2次式は上に開くので、閉区間での最大値は端点で調べればよい。端点では$$b=0\text{ のとき }{\displaystyle \frac{V}{\pi }}={\displaystyle \frac{4}{3}},b=6\text{ のとき }{\displaystyle \frac{V}{\pi }}={\displaystyle \frac{6}{5}}$$であり、大きいのは ${\displaystyle \frac{4}{3}}$ である。よって求める範囲は $${\displaystyle \frac{9\pi }{8}}\leqq V\leqq {\displaystyle \frac{4\pi }{3}}$$ である。

$0\leqq b\leqq 6$ を得た後、$b=6t$ とおいて $0\leqq t\leqq 1$ に正規化する。体積を $t$ の2次式にして頂点と両端を比較する。

積分条件から$${\displaystyle \frac{a}{2}}-{\displaystyle \frac{b}{3}}=1$$であり、$$a=2+{\displaystyle \frac{2b}{3}}$$ である。また $f(x)=x(a-bx)\geqq 0$ が $0\leqq x\leqq 1$ で成り立つための条件は $a-b\geqq 0$ だから、$0\leqq b\leqq 6$ となる。

そこで $b=6t(0\leqq t\leqq 1)$ とおく。このとき $a=2+4t$ である。回転体の体積は$$V=\pi {\int }_0^1\{(2+4t)x-6t{x}^2{\}}^{2}dx$$であり、整理すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{V}{\pi }}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4}{3}}-{\displaystyle \frac{2}{3}}t+{\displaystyle \frac{8}{15}}{t}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{8}{15}}{(t-{\displaystyle \frac{5}{8}})}^2+{\displaystyle \frac{9}{8}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって最小値は $t={\displaystyle \frac{5}{8}}$ のときの $9\mathrm{/}8$ である。最大値は両端を比べればよく、$$t=0\text{ のとき }{\displaystyle \frac{V}{\pi }}={\displaystyle \frac{4}{3}},t=1\text{ のとき }{\displaystyle \frac{V}{\pi }}={\displaystyle \frac{6}{5}}$$だから最大値は $4\mathrm{/}3$ である。よって$${\displaystyle \frac{9\pi }{8}}\leqq V\leqq {\displaystyle \frac{4\pi }{3}}$$を得る。