名古屋大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験 関数・論証・証明理系数学 第3問(b)

(1)
3点の $x$ 座標を $u,v,w$ とする。
これら3点が1直線上にあるとする。その直線を $y=\alpha x+\beta$ と書けば、交点の $x$ 座標は $x^3=\alpha x+\beta$ すなわち $x^3-\alpha x-\beta =0$ の根である。この3次方程式には $x^2$ の項がないから、3つの根の和は $u+v+w=0$ である。

逆に $u+v+w=0$ とする。このとき $(x-u)(x-v)(x-w)$ を展開すると $x^2$ の項は現れない。したがって $$(x-u)(x-v)(x-w)=x^3+\lambda x+\mu$$ と書ける。よって $x=u,v,w$ では $x^3=-\lambda x-\mu$ が成り立つ。これは3点 $(u,u^3)$, $(v,v^3)$, $(w,w^3)$ が直線 $y=-\lambda x-\mu$ 上にあることを意味する。
したがって、3点が1直線上にあるための必要十分条件は $u+v+w=0$ である。

(2) $A_k$ の $x$ 座標を $x_k$ とする。(1) より、仮定は $$x_1+x_2+x_3=0,x_4+x_5+x_6=0,$$ $$x_1+x_4+x_7=0,x_2+x_5+x_8=0,x_3+x_6+x_9=0$$ と表される。
後の3式を加えると $$(x_1+x_2+x_3)+(x_4+x_5+x_6)+(x_7+x_8+x_9)=0$$ である。前の2式より $$x_1+x_2+x_3=0,x_4+x_5+x_6=0$$ だから $x_7+x_8+x_9=0$ となる。したがって (1) より、3点 $A_7,A_8,A_9$ も1直線上にある。

3点の共線条件は、2本の割線の傾きが等しいこと

3点 $(u,u^3),(v,v^3),(w,w^3)$ が共線であることを、
隣り合う2本の割線の傾きが等しい条件で調べる。
差の立方を因数分解すると $u+v+w=0$ が直接出る。

(1)
3点の $x$ 座標を相異なる $u,v,w$ とする。共線条件は$${\displaystyle \frac{u^3-v^3}{u-v}}={\displaystyle \frac{v^3-w^3}{v-w}}\mathrm{.}$$因数分解すると$$u^2+uv+v^2=v^2+vw+w^2,$$すなわち$$(u-w)(u+v+w)=0.$$$u\mathrm{\ne }w$ だから、必要十分条件は$$u+v+w=0$$である。

(2)
$A_k$ の $x$ 座標を $x_k$ とする。仮定した5本の直線から$$\begin{array}{c}{\displaystyle x_1+x_2+x_3=0,x_4+x_5+x_6=0,}\\ {\displaystyle x_1+x_4+x_7=0,x_2+x_5+x_8=0,x_3+x_6+x_9=0}\end{array}$$を得る。後の3式を加え、前の2式を使うと$$x_7+x_8+x_9=0.$$(1)より $A_7,A_8,A_9$ も一直線上にある。