名古屋大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)
放物線と折れ線はともに $y$ 軸対称なので、$x>0$ で
$y=1-x$ と接する条件を調べる。接点の $x$ 座標を $t$ とすると$$b-a{t}^2=1-t,-2at=-1.$$よって$$t={\displaystyle \frac{1}{2a}},b=1-{\displaystyle \frac{1}{4a}}\mathrm{.}$$$a>0$ なら $b<1$ も満たすので、求める条件は$$b=1-{\displaystyle \frac{1}{4a}}(a>0)$$である。

(2)
接点は $x=\pm {\displaystyle \frac{1}{2a}}$ である。$$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{1}{2a}}$$では折れ線が上側にあるから、面積 $S$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =2{\int }_0^{1\mathrm{/}(2a)}\{(1-x)-(b-a{x}^2)\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2{\int }_0^{1\mathrm{/}(2a)}({\displaystyle \frac{1}{4a}}-x+a{x}^2)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2{[{\displaystyle \frac{x}{4a}}-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+{\displaystyle \frac{a{x}^3}{3}}]}_0^{1\mathrm{/}(2a)}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{12a^2}}\mathrm{.}}\end{array}$$接点は左右対称で、差は接点で2重に0になる

$x\geqq 0$ で交点方程式を作り、接する条件を判別式0で求める。
条件を代入すると2曲線の縦の差が
$a{(x-{\displaystyle \frac{1}{2a}})}^2$ と完全平方になるので、
面積も短く計算できる。

(1)
$x\geqq 0$ では折れ線は $y=1-x$ である。放物線との交点は$$a{x}^2-x+1-b=0$$の解である。接するための必要十分条件は、この2次方程式が
重解をもつことである。したがって$$1-4a(1-b)=0,$$すなわち$$b=1-{\displaystyle \frac{1}{4a}}(a>0)\mathrm{.}$$(2)
このとき2曲線の縦の差は$$(1-x)-(b-a{x}^2)=a{(x-{\displaystyle \frac{1}{2a}})}^2\mathrm{.}$$接点の $x$ 座標は ${\displaystyle \frac{1}{2a}}$ だから、対称性より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =2{\int }_0^{1\mathrm{/}(2a)}a{(x-{\displaystyle \frac{1}{2a}})}^{2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{12a^2}}\mathrm{.}}\end{array}$$