名古屋大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験 関数・微分文系数学 第3問(a)

$P=(x,x^2)$（$x\geqq 0$）とおく。距離の2乗は$$D(x)=x^2+{(x^2-{\displaystyle \frac{3}{4}})}^2$$である。微分すると$$D^{\mathrm{\prime }}(x)=2x(2x^2-{\displaystyle \frac{1}{2}})\mathrm{.}$$$x\geqq 0$ では $0<x<1\mathrm{/}2$ で減少し、$x>1\mathrm{/}2$ で増加する。したがって$$P=({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{4}})\mathrm{.}$$直線 $AP$ の傾きは$${\displaystyle \frac{1\mathrm{/}4-3\mathrm{/}4}{1\mathrm{/}2}}=-1$$だから、その方程式は $y={\displaystyle \frac{3}{4}}-x$ である。求める面積を $T$ とすると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle T}& {\displaystyle ={\int }_0^{1\mathrm{/}2}({\displaystyle \frac{3}{4}}-x-x^2)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[{\displaystyle \frac{3x}{4}}-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}]}_0^{1\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{5}{24}}\mathrm{.}}\end{array}$$

最近点が端点でないなら、線分 $AP$ はその点での接線に垂直である。接線の傾きと $AP$ の傾きの積を $-1$ として $P$ を決める。面積は直線と放物線の差を因数分解して積分する。

$P=(u,u^2)$（$u>0$）とする。放物線の接線の傾きは $2u$、直線 $AP$ の傾きは$${\displaystyle \frac{u^2-3\mathrm{/}4}{u}}$$である。最近点では $AP$ が接線に垂直だから$$2u\cdot {\displaystyle \frac{u^2-3\mathrm{/}4}{u}}=-1.$$よって $2u^2-3\mathrm{/}2=-1$、すなわち $u=1\mathrm{/}2$ である。端点 $(0,0)$ までの距離の2乗は $9\mathrm{/}16$、この点までの距離の2乗は $1\mathrm{/}2$ なので、確かに$$P=({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{4}})$$が最近点である。

直線 $AP$ は $y={\displaystyle \frac{3}{4}}-x$ であり、その放物線との差は$${\displaystyle \frac{3}{4}}-x-x^2=({\displaystyle \frac{1}{2}}-x)(x+{\displaystyle \frac{3}{2}})\mathrm{.}$$したがって $0\leqq x\leqq 1\mathrm{/}2$ で直線が上にあり、面積は$${\int }_0^{1\mathrm{/}2}({\displaystyle \frac{1}{2}}-x)(x+{\displaystyle \frac{3}{2}})dx={\displaystyle \frac{5}{24}}\mathrm{.}$$