名古屋大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

与えられた図形は $$-2\leqq x\leqq 2,x^2-4\leqq y\leqq 0$$ で表される閉じた図形である。最長の線分は，この図形の境界上の2点を結ぶものとしてよい。もし端点が内部にあれば，同じ直線方向に動かして境界まで延ばせるからである。

さらに，上側の境界 $y=0$ 上の点を一方の端点にする場合を考える。他方の点を固定すると，$(x,0)$ までの距離の2乗は $x$ についての2次関数であり，区間 $[-2,2]$ での最大は端点 $x=-2$ または $x=2$ で生じる。この2点は放物線上にもある。したがって，放物線上の2点の距離を最大にすれば十分である。

放物線上の2点を $$P=(x,x^2-4),Q=(u,u^2-4)$$ とおく。ただし $-2\leqq x,u\leqq 2$ である。距離の2乗は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P{Q}^2}& {\displaystyle =(x-u{)}^2+(x^2-u^2{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(x-u{)}^2\{1+(x+u{)}^2\}}\end{array}$$である。

ここで $s=x-u,t=x+u$ とおく。$x=(s+t)\mathrm{/}2$，$u=(t-s)\mathrm{/}2$ がともに $[-2,2]$ にある条件は $\mathrm{\mid }s+t\mathrm{\mid }\leqq 4,\mathrm{\mid }t-s\mathrm{\mid }\leqq 4$ であり，これは $\mathrm{\mid }s\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }\leqq 4$ と同値である。また $P{Q}^2=s^2(1+t^2)$ である。符号を変えても値は変わらないので，$s\geqq 0,t\geqq 0$ としてよい。このとき条件は $s+t\leqq 4$ である。

固定した $t$ に対して，$s^2(1+t^2)$ は $s$ が大きいほど大きいので，最大では $s=4-t$ である。よって $$H(t)=(4-t{)}^2(1+t^2)(0\leqq t\leqq 4)$$ を最大化すればよい。微分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle H^{\mathrm{\prime }}(t)}& {\displaystyle =-2(4-t)(1+t^2)+2t(4-t{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-2(4-t)(2t^2-4t+1)}\end{array}$$である。したがって候補は $$t=1\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}},0,4$$ である。

値を比べると $H(0)=16,H(4)=0,$ また$$H(1-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}})={\displaystyle \frac{71}{4}}-2\sqrt{2},H(1+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}})={\displaystyle \frac{71}{4}}+2\sqrt{2}$$である。したがって最大値は ${\displaystyle \frac{71}{4}}+2\sqrt{2}$ である。

よって最長の線分の長さは $$\sqrt{{\displaystyle \frac{71}{4}}+2\sqrt{2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{71+8\sqrt{2}}$$ である。

放物線上の2点の中点と半差を使う。中点の位置を固定すると，最長にするには一方の端点が $x=\pm 2$ に来ることが分かるため，1変数の最大化へ落とす。

最長線分の両端は境界上に取れる。また上側の境界 $y=0$ に端点がある場合，もう一方を固定した距離の2乗は横座標の2次関数なので，その端点を $(-2,0)$ または $(2,0)$ へ移すと距離は短くならない。したがって放物線上の2点だけを考えればよい。

2点を$$P=(q+h,(q+h{)}^2-4),Q=(q-h,(q-h{)}^2-4)$$とおく。$q$ は2点の横座標の中点，$h\geqq 0$ は半差である。両横座標が $[-2,2]$ にある条件は$$\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }+h\leqq 2$$である。距離の2乗は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P{Q}^2}& {\displaystyle =(2h{)}^2+\{(q+h{)}^2-(q-h{)}^2{\}}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4h^2(1+4q^2)}\end{array}$$となる。

$\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }$ を固定すると，最大では $h=2-\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }$ である。対称性から $r=\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }$ とおけば$$G(r)=4(2-r{)}^2(1+4r^2)(0\leqq r\leqq 2)$$を最大化すればよい。微分と端点比較により最大は$$r={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}}$$のときで，$$\max G(r)={\displaystyle \frac{71}{4}}+2\sqrt{2}$$である。よって最長の線分の長さは$${\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{71+8\sqrt{2}}$$である。このとき $h=2-r$ なので一方の端点は $x=2$ または $x=-2$ にある。