名古屋大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)
与えられた行列は$$A=\left(\begin{array}{cc}a-{\displaystyle \frac{1}{2}}& -b\\ b& {\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}}-a\end{array}\right)$$である。問題で定めた$$B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)A\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$$を計算すると$$B=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}}-a& b\\ -b& a-{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)$$である。これは $A$ の逆行列の公式で現れる行列である。

実際，$$\det A=(a-{\displaystyle \frac{1}{2}})({\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}}-a)+b^2$$ であり，$\det A=1$ なら$$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}}-a& b\\ -b& a-{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)=B$$となる。したがって $$(a-{\displaystyle \frac{1}{2}})({\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}}-a)+b^2=1$$ となるように $b$ を選べばよい。

すなわち $$b^2=1-(a-{\displaystyle \frac{1}{2}})({\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}}-a)$$ とすればよい。ここで $$X=a-{\displaystyle \frac{1}{2}},Y={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}}-a$$ とおくと $$X+Y={\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{2}}$$ である。和が一定の2数の積は，2数が等しいとき最大になるので $$XY\leqq {\displaystyle \frac{(X+Y{)}^2}{4}}={\displaystyle \frac{(\sqrt{5}-1{)}^2}{16}}<1$$ である。よって $1-XY>0$ であり，任意の実数 $a$ に対して実数 $b$ を選ぶことができる。

(2)
(1) のように $b$ を選ぶと $B=A^{-1}$ である。したがって $A+A^{-1}=A+B$ であり，成分を足すと$$A+B=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{2}}& 0\\ 0& {\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{2}}\end{array}\right)$$である。ここで $$\lambda ={\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{2}}$$ とおくと $A+A^{-1}=\lambda I$ である。また ${\lambda }^2+\lambda =1$ が成り立つ。よって $$(A+A^{-1}{)}^2+(A+A^{-1})=({\lambda }^2+\lambda )I=I$$ である。

次に $A^5=I$ を示す。$A+A^{-1}=\lambda I$ の両辺に右から $A$ を掛けると $A^2+I=\lambda A$ である。したがって $A^2=\lambda A-I$ である。これを順に用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A^3}& {\displaystyle =\lambda A^2-A=({\lambda }^2-1)A-\lambda I=-\lambda A-\lambda I,}\\ {\displaystyle A^4}& {\displaystyle =-\lambda A^2-\lambda A=-({\lambda }^2+\lambda )A+\lambda I=-A+\lambda I,}\\ {\displaystyle A^5}& {\displaystyle =-A^2+\lambda A=I}\end{array}$$である。したがって$$A^5=I=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$が示された。

(1) では $b^2$ を $a$ の平方完成で表し，常に正であることを直接示す。(2) では $A^2-\lambda A+I=0$ を作り，5乗まで逐次計算せず，等比和型の因数分解 $A^5-I=(A-I)(A^4+A^3+A^2+A+I)$ を使う。

(1) $$B=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}}-a& b\\ -b& a-{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)$$である。これは $A$ の余因子を並べた行列なので，$\det A=1$ なら $B=A^{-1}$ となる。

必要な条件を $b^2$ について解くと$$b^2=1-(a-{\displaystyle \frac{1}{2}})({\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}}-a)$$である。右辺を平方完成すると$$b^2={(a-{\displaystyle \frac{\sqrt{5}+1}{4}})}^2+{\displaystyle \frac{5+\sqrt{5}}{8}}>0$$となる。したがって任意の実数 $a$ に対して，この正の数の平方根またはその負を $b$ に選べばよい。

(2) $$\lambda ={\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{2}}$$とおくと，成分計算から$$A+A^{-1}=\lambda I,{\lambda }^2+\lambda =1$$である。したがって$$(A+A^{-1}{)}^2+(A+A^{-1})=({\lambda }^2+\lambda )I=I$$となる。

また $A+A^{-1}=\lambda I$ に $A$ を掛けて$$A^2=\lambda A-I$$を得る。この関係から$$A^3=-\lambda A-\lambda I,A^4=-A+\lambda I$$である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A^4+A^3+A^2+A+I}& {\displaystyle =(-A+\lambda I)+(-\lambda A-\lambda I)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +(\lambda A-I)+A+I}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =O}\end{array}$$となる。ゆえに$$A^5-I=(A-I)(A^4+A^3+A^2+A+I)=O$$であり，$A^5=I$ が示された。