名古屋大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

平面 $x+y+z=0$ の法線方向は $(1,1,1)$ である。平面内の直交する単位方向として$${\mathbf{e}}_1={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}(1,-1,0),{\mathbf{e}}_2={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{6}}}(1,1,-2)$$を取る。点 $(x,y,z)$ をこの平面へ垂直に下ろしても、${\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2$ 方向の成分は変わらない。したがって射影された点の平面上の座標は $$(u,v)=({\displaystyle \frac{x-y}{\sqrt{2}}},{\displaystyle \frac{x+y-2z}{\sqrt{6}}})$$ で表される。

立方体の頂点をこの座標で見ると、$(0,0,0)$ と $(1,1,1)$ はどちらも $(0,0)$ に移る。他の6点は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (1,1,0)}& {\displaystyle \mapsto (0,{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{6}}}),}\\ {\displaystyle (0,1,0)}& {\displaystyle \mapsto (-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{6}}}),}\\ {\displaystyle (0,1,1)}& {\displaystyle \mapsto (-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{6}}}),}\\ {\displaystyle (0,0,1)}& {\displaystyle \mapsto (0,-{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{6}}}),}\\ {\displaystyle (1,0,1)}& {\displaystyle \mapsto ({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{6}}}),}\\ {\displaystyle (1,0,0)}& {\displaystyle \mapsto ({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{6}}})}\end{array}$$である。これら6点が $B$ の境界をなす六角形の頂点である。

ここで $$A={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},B_0={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{6}}}$$ とおく。六角形の頂点は順に$$(0,2B_0),(-A,B_0),(-A,-B_0),(0,-2B_0),(A,-B_0),(A,B_0)$$である。座標平面の多角形の面積公式を用いると、符号付き和の各部分がすべて $2A{B}_0$ となるので、面積は $${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 6\cdot 2A{B}_0=6A{B}_0={\displaystyle \frac{6}{\sqrt{12}}}=\sqrt{3}$$ である。したがって $\sqrt{3}$ である。

立方体を平面の法線方向から見る。正射影された六角形は法線方向から見える3枚の面の射影で過不足なく分割されるので、各面の面積に法線同士のなす角の余弦を掛けて足す。

射影する平面の単位法線ベクトルは$$\mathit{n}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}(1,1,1)$$である。立方体をこの法線方向から見ると、$xy$ 面、$yz$ 面、$zx$ 面に平行な面が1枚ずつ見える。それらの正射影は内部で重ならず、合わせて射影図形 $B$ 全体を作る。

例えば $xy$ 面に平行な面の単位法線は $(0,0,1)$ であるから、その面積は正射影によって$$\mid (0,0,1)\cdot \mathit{n}\mid ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$$倍になる。元の面積は1なので、射影面積は $1\mathrm{/}\sqrt{3}$ である。他の2種類の面も同じ倍率になる。

したがって$$\mathrm{area}(B)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}=\sqrt{3}$$である。