名古屋大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験 整数・ベクトル理系数学 第4問(b)

(1) $$\overrightarrow{OA}=(3,5),\overrightarrow{OP}=(m,n)$$ である。$OA$ と $OP$ を2辺とする平行四辺形の面積は $\mathrm{\mid }3n-5m\mathrm{\mid }$ である。

ここで $m,n$ は整数なので、$3n-5m$ は整数である。また3点 $O,A,P$ は同一直線上にないから、平行四辺形の面積は0ではない。したがって面積は正の整数である。

さらに $3$ と $5$ は互いに素であり、例えば $(m,n)=(1,2)$ とすれば $3n-5m=6-5=1$ となる。よって正の整数としての最小値 $1$ は実際に達成される。したがって最小値は $1$ である。

(2)
最小値を与える条件は $\mathrm{\mid }3n-5m\mathrm{\mid }=1$ である。点 $P$ の座標を $(x,y)$ と書けば、これは $3y-5x=1$ または $3y-5x=-1$ を意味する。したがって求める2直線は $3y-5x=1,3y-5x=-1$ である。

(3)
まず $3n-5m=1$ を解く。これを3で割った余りで見ると $-5m\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ であり、$-5\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ だから $m\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ である。よって $m=1+3t$ と書ける。ただし $t$ は整数である。このとき $3n=1+5(1+3t)=6+15t$ より $n=2+5t$ である。したがって一方の直線上の点は $(m,n)=(1+3t,2+5t)$ である。

次に $3n-5m=-1$ を解く。3で割った余りを見ると $-5m\equiv -1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ であり、$-5\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ だから $m\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ である。よって $m=2+3t$ と書ける。このとき $3n=-1+5(2+3t)=9+15t$ より $n=3+5t$ である。

以上より、最小値を与えるすべての点 $P(m,n)$ は $$(m,n)=(1+3t,2+5t)\text{または}(m,n)=(2+3t,3+5t)$$ である。ただし $t$ は任意の整数である。これらはいずれも $\mathrm{\mid }3n-5m\mathrm{\mid }=1$ を満たすので、3点が同一直線上にない条件も自動的に満たしている。

最小面積1を与える方程式 $3n-5m=\pm 1$ について、まず1つの整数解を見つける。同じ直線上の整数解同士の差が $(3,5)$ の整数倍になることを示して全解を得る。

(1)
平行四辺形の面積は $\mathrm{\mid }3n-5m\mathrm{\mid }$ である。これは0でない整数であり、$(m,n)=(1,2)$ なら $3n-5m=1$ だから、最小値は1である。

(2)
最小値を与える点は$$3n-5m=1\text{または}3n-5m=-1$$を満たす整数点であり、2直線は $3y-5x=\pm 1$ である。

(3)
まず $3n-5m=1$ の1つの解は $(m,n)=(1,2)$ である。別の整数解を $(m,n)$ とすると$$3(n-2)=5(m-1)\mathrm{.}$$3と5は互いに素だから、$m-1$ は3の倍数、$n-2$ は5の倍数である。よって整数 $t$ を用いて$$(m,n)=(1+3t,2+5t)$$と表される。

同様に $3n-5m=-1$ の1つの解 $(2,3)$ から$$(m,n)=(2+3t,3+5t)$$を得る。したがって、これら2種類が最小面積を与える全ての整数点である。