名古屋大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験 理系理系数学 第4問(b)

$\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">1</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}$ $u=a+b,v=a-b$ とおく。仮定より $f(0)=c$ は整数である。また $f(1)=1+a+b+c=1+u+c$ が整数で、すでに$c$が整数なので$u$も整数である。さらに $f(-1)=-1+a-b+c=-1+v+c$ が整数であるから、$v$も整数である。

任意の整数$n$について $f(n)=n^3+a{n}^2+bn+c$ である。$$a={\displaystyle \frac{u+v}{2}}$$, $$b={\displaystyle \frac{u-v}{2}}$$より $$a{n}^2+bn={\displaystyle \frac{un(n+1)+vn(n-1)}{2}}$$ である。したがって $$f(n)=n^3+c+{\displaystyle \frac{un(n+1)+vn(n-1)}{2}}$$ と表せる。 $n(n+1)$と$n(n-1)$はいずれも連続する2整数の積なので偶数である。$u,v,c$は整数であるから、右辺は整数である。よってすべての整数$n$に対して$f(n)$は整数である。

$\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">2</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}$ $g(x)=f(x+1997)$ とおく。$g(x)$も最高次係数が1の3次多項式である。また $$g(-1)=f(1996),g(0)=f(1997),g(1)=f(1998)$$ はいずれも整数である。したがって(1)を$g$に適用すると、すべての整数$m$について$g(m)$は整数である。

任意の整数$n$は $n=m+1997$ すなわち$m=n-1997$と書ける。この$m$は整数であるから $f(n)=f(m+1997)=g(m)$ は整数である。よってこの場合も、すべての整数$n$に対して$f(n)$は整数である。

3次多項式の3階差分が一定になることを使う。最高次係数が1なら、4つの連続整数における値は係数がすべて整数の漸化式で結ばれる。連続する3点で整数なら、その式を前向き・後ろ向きに繰り返して全整数へ広げられる。

$\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">1</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}$
$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$ を直接展開すると、任意の整数 $n$ に対して$$\begin{array}{cccc}& f(n+3)-3f(n+2)+3f(n+1)-f(n)=6& & \text{(1)}\end{array}$$が成り立つ。3次の項の3階差分は $6$、2次以下の項の3階差分は $0$ だからである。

$f(-1),f(0),f(1)$ は整数である。$(1)$ に $n=-1$ を入れると$$f(2)=6+3f(1)-3f(0)+f(-1)$$も整数である。同様に $n=0,1,\dots$ と順に用いれば、すべての非負整数 $m$ で $f(m)$ が整数になる。

一方、$(1)$ を$$f(n)=f(n+3)-3f(n+2)+3f(n+1)-6$$と解き、$n=-2,-3,\dots$ と用いれば、負の整数へも順に広がる。したがって、すべての整数 $n$ に対して $f(n)$ は整数である。

$\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">2</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}$
今度は$$f(1996),f(1997),f(1998)$$が整数である。この3つも連続する整数での値なので、$(1)$ を $n=1996,1997,\dots$ と用いれば右方向へ、$n=1995,1994,\dots$ と逆向きに用いれば左方向へ整数性が伝わる。よってこの場合も、すべての整数 $n$ に対して $f(n)$ は整数である。