名古屋大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験 整数・図形と方程式理系数学 第4問(b)

2つの格子点 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ の距離を $l$ とする。座標差を $$u=x_1-x_2,v=y_1-y_2$$ とおけば $l^2=u^2+v^2$ である。整数 $m$ については $m^2\equiv m(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)$ が成り立つので $$l^2=u^2+v^2\equiv u+v(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)$$ である。また，問題の仮定より $l$ は整数であるから $l^2\equiv l(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)$ である。したがって $$l\equiv (x_1-x_2)+(y_1-y_2)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)$$ である。

三角形の頂点を $$A=(x_A,y_A),B=(x_B,y_B),C=(x_C,y_C)$$ とする。辺 $AB,BC,CA$ の長さをそれぞれ $c,a,b$ とすれば，上の合同式から $$c\equiv (x_A-x_B)+(y_A-y_B)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2),$$ $$a\equiv (x_B-x_C)+(y_B-y_C)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2),$$ $$b\equiv (x_C-x_A)+(y_C-y_A)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)$$ である。3式を足すと，右辺の座標差はすべて打ち消し合うので $a+b+c\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)$ である。したがって $a+b+c\text{ は偶数}$ である。

さらに，整数については $m^2\equiv m(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)$ であるから $$a^2+b^2+c^2\equiv a+b+c\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)$$ である。よって $a^2+b^2+c^2\text{ も偶数}$ である。

$x+y$ の偶奇による格子点の色分け

格子点を $x+y$ の偶奇で2色に塗る。整数距離の辺が奇数となる条件を
「両端の色が異なる」と読み替え、閉じた三角形で色が変わる回数を数える。

格子点 $(x,y)$ を $x+y$ の偶奇で2色に分ける。2点の座標差を $u,v$、整数である距離を $l$ とすると$$l^2=u^2+v^2\equiv u+v(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)\mathrm{.}$$また $l^2\equiv l(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)$ なので、$l$ が奇数であることと
2端点の $x+y$ の偶奇が異なることは同値である。

三角形 $ABC$ を一周すると出発点の色へ戻る。したがって色が変わる辺の本数、
すなわち奇数長の辺の本数は偶数である。よって$$a+b+c\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)\mathrm{.}$$さらに整数 $m$ について $m^2\equiv m(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)$ だから$$a^2+b^2+c^2\equiv a+b+c\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)\mathrm{.}$$したがって2つの和はいずれも偶数である。