名古屋大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験 整数・数と式文系数学 第3問(b)

$u=a+b,v=a-b$ とおく。仮定より $f(0)=c$ は整数である。また $f(1)=1+a+b+c=1+u+c$ が整数で、すでに$c$が整数なので$u$も整数である。さらに $f(-1)=-1+a-b+c=-1+v+c$ が整数であるから、$v$も整数である。

任意の整数$n$について、$f(n)=n^3+a{n}^2+bn+c$ である。ここで $$a={\displaystyle \frac{u+v}{2}},b={\displaystyle \frac{u-v}{2}}$$ なので $$a{n}^2+bn={\displaystyle \frac{u+v}{2}}{n}^2+{\displaystyle \frac{u-v}{2}}n={\displaystyle \frac{un(n+1)+vn(n-1)}{2}}$$ である。したがって $$f(n)=n^3+c+{\displaystyle \frac{un(n+1)+vn(n-1)}{2}}$$ と表せる。 $n$が整数なら、$n(n+1)$と$n(n-1)$はいずれも連続する2整数の積なので偶数である。$u,v,c$は整数であるから、右辺は整数である。よって、すべての整数$n$に対して $f(n)$ は整数である。

最高次の整数係数部分を除いて $g(x)=f(x)-x^3$ と置く。2次多項式 $g$ を $-1,0,1$ の値から補間すると、任意の整数 $n$ における係数がすべて整数になる。$a,b$ を個別に決定しない補間公式による証明である。

$$g(x)=f(x)-x^3$$と置くと、$g$ は2次以下の多項式であり、$$g(-1),g(0),g(1)$$はいずれも整数である。

2次以下の多項式は3点での値によって決まり、$-1,0,1$ を使った補間式は$$g(x)={\displaystyle \frac{x(x+1)}{2}}g(1)+(1-x^2)g(0)+{\displaystyle \frac{x(x-1)}{2}}g(-1)$$である。実際、右辺は2次以下で、$x=-1,0,1$ の各点で $g(x)$ と同じ値をとるから、この恒等式が成り立つ。

任意の整数 $n$ に対して$${\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}},1-n^2,{\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}$$はすべて整数である。したがって補間式から $g(n)$ は整数である。さらに $n^3$ も整数なので$$f(n)=n^3+g(n)$$は整数である。よって、すべての整数 $n$ に対して $f(n)$ は整数となる。