名古屋大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験 整数・場合の数文系数学 第3問(a)

$l\geqq 1$ であるから、下位から見て初めて0でない数字が現れる位置がある。すなわち $$a_0=a_1=\cdots =a_{r-1}=0,a_r\mathrm{\ne }0$$ となる整数 $r$ がただ一つ定まる。ただし $0\leqq r\leqq n-1$ である。 ${10}^n-l$ を十進法の筆算で考える。下位 $r$ 桁は0のままで、$r$ 桁目で初めて借り下がりが起こる。したがって ${10}^n-l$ の各桁は、$0$ 桁目から $r-1$ 桁目までは0、$r$ 桁目は $10-a_r$ であり、$r+1$ 桁目から $n-1$ 桁目までは $9-a_k$ である。よって$$s({10}^n-l)=10-a_r+\sum _{k=r+1}^{n-1}(9-a_k)$$である。

一方、$l$ の桁和は$$s(l)=a_r+\sum _{k=r+1}^{n-1}{a}_k$$である。したがって$$s(l)+s({10}^n-l)=10+\sum _{k=r+1}^{n-1}9=10+9(n-1-r)$$となる。

この値は $r$ が大きいほど小さい。最大の $r$ は $r=n-1$ なので、最小値は $10$ である。このとき $$a_0=a_1=\cdots =a_{n-2}=0,1\leqq a_{n-1}\leqq 9$$ であるから $$l=a\cdot {10}^{n-1}(a=1,2,\dots ,9)$$ である。

よって最小値は $10$ であり、それを与える自然数は ${10}^{n-1},2\cdot {10}^{n-1},\dots ,9\cdot {10}^{n-1}$ である。
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${10}^n-l=({10}^n-1)-(l-1)$ と書く。$l$ の末尾の0の個数を $r$ とし、
$l-1$ の桁和と、9が $n$ 個並ぶ数に対する補数の関係を使う。

$l$ の十進表示の末尾に並ぶ0の個数を $r$ とする。$0\leqq r\leqq n-1$ である。
$l$ から1を引くと、末尾の $r$ 個の0は9となり、その直前の非零桁が1減るので$$s(l-1)=s(l)-1+9r\mathrm{.}$$また$${10}^n-l=({10}^n-1)-(l-1)$$であり、${10}^n-1$ は9が $n$ 個並ぶ数である。各桁が補数になるから$$s({10}^n-l)=9n-s(l-1)\mathrm{.}$$したがって$$s(l)+s({10}^n-l)=9n+1-9r=10+9(n-1-r)\mathrm{.}$$最小値は $r=n-1$ のときの10である。このとき下位 $n-1$ 桁は0、最高位は1から9なので$$l={10}^{n-1},2\cdot {10}^{n-1},\dots ,9\cdot {10}^{n-1}\mathrm{.}$$