名古屋大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験 ベクトル・図形と方程式理系数学 第4問(a)

点 $P$ から平面 $x+y+z=0$ へ垂線を下ろした点が $Q$ であるから、$B$ は直方体 $A$ のこの平面への正射影である。平面 $x+y+z=0$ の法線方向は $(1,1,1)$ であり、単位法線ベクトルは ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}(1,1,1)$ である。

直方体をこの法線方向から見ると、境界を作るのは座標面に平行な3種類の面である。$xy$ 平面に平行な面の面積は $ab$ であり、その面の法線方向は $(0,0,1)$ である。したがって正射影による面積の倍率は $$\mid (0,0,1)\cdot {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}(1,1,1)\mid ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$$ である。よってこの方向の面からの面積の寄与は ${\displaystyle \frac{ab}{\sqrt{3}}}$ である。

同じように、$yz$ 平面に平行な面の面積は $bc$、$zx$ 平面に平行な面の面積は $ca$ であり、いずれも射影倍率は ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$ である。したがってそれぞれの寄与は ${\displaystyle \frac{bc}{\sqrt{3}}},{\displaystyle \frac{ca}{\sqrt{3}}}$ である。

これら3方向の射影は内部で重ならず、合わせて $B$ 全体を作る。したがって ${\displaystyle \frac{ab+bc+ca}{\sqrt{3}}}$ である。

射影面内に直交座標を置き、直方体の3本の辺の射影ベクトルを求める。得られる六角形を、2本ずつの射影辺で作る3個の平行四辺形に分けて面積を足す。

平面 $x+y+z=0$ 内の直交する単位方向を$${\mathit{e}}_1={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}(1,-1,0),{\mathit{e}}_2={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{6}}}(1,1,-2)$$とする。平面内の座標をこれらの方向の成分で表すと、長さ $a,b,c$ の3本の辺の射影はそれぞれ$$\mathit{p}=({\displaystyle \frac{a}{\sqrt{2}}},{\displaystyle \frac{a}{\sqrt{6}}}),\mathit{q}=(-{\displaystyle \frac{b}{\sqrt{2}}},{\displaystyle \frac{b}{\sqrt{6}}}),\mathit{r}=(0,-{\displaystyle \frac{2c}{\sqrt{6}}})$$である。

射影図形 $B$ は、この3方向の線分を辺にもつ六角形である。この六角形は、$\mathit{p},\mathit{q}$、$\mathit{q},\mathit{r}$、$\mathit{r},\mathit{p}$ を2辺とする3個の平行四辺形に分けられる。それぞれの面積を底辺と高さから計算すると$${\displaystyle \frac{ab}{\sqrt{3}}},{\displaystyle \frac{bc}{\sqrt{3}}},{\displaystyle \frac{ca}{\sqrt{3}}}$$となる。したがって$$\mathrm{area}(B)={\displaystyle \frac{ab+bc+ca}{\sqrt{3}}}$$である。