名古屋大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験 整数・場合の数理系数学 第4問(a)

$l\geqq 1$ であるから、下位から見て初めて0でない桁がある。すなわち $$a_0=a_1=\cdots =a_{r-1}=0,a_r\mathrm{\ne }0$$ となる整数 $r$ がただ一つ定まる。ただし $0\leqq r\leqq n-1$ である。 $p^n-l$ を $p$ 進法の筆算で求める。下位 $r$ 桁は0で、$r$ 桁目で初めて借り下がりが起こる。したがって $p^n-l$ の各桁は、$0$ 桁目から $r-1$ 桁目までは0、$r$ 桁目は $p-a_r$ であり、$r+1$ 桁目から $n-1$ 桁目までは $p-1-a_k$ である。

よって$$s(p^n-l)=p-a_r+\sum _{k=r+1}^{n-1}(p-1-a_k)$$である。一方$$s(l)=a_r+\sum _{k=r+1}^{n-1}{a}_k$$であるから$$s(l)+s(p^n-l)=p+\sum _{k=r+1}^{n-1}(p-1)=p+(n-1-r)(p-1)$$である。

これは $r$ が大きいほど小さい。よって最小は $r=n-1$ のときにとられ、その値は $p$ である。このとき $$a_0=a_1=\cdots =a_{n-2}=0,1\leqq a_{n-1}\leqq p-1$$ なので $$l=a{p}^{n-1}(a=1,2,\dots ,p-1)$$ である。

したがって最小値を与える自然数は $p^{n-1},2p^{n-1},\dots ,(p-1)p^{n-1}$ である。
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$p^n-l=(p^n-1)-(l-1)$ と書く。$l$ の末尾の0の個数を $r$ とし、
$p^n-1$ に対する $p$ 進法の補数を利用する。

$l$ の $p$ 進表示の末尾に並ぶ0の個数を $r$ とする。$0\leqq r\leqq n-1$ である。
$l$ から1を引くと、末尾の $r$ 個の0は $p-1$ となり、その直前の非零桁が1減るので$$s(l-1)=s(l)-1+r(p-1)\mathrm{.}$$また$$p^n-l=(p^n-1)-(l-1)$$であり、$p^n-1$ の各桁はすべて $p-1$ である。よって$$s(p^n-l)=n(p-1)-s(l-1)\mathrm{.}$$したがって$$s(l)+s(p^n-l)=p+(n-1-r)(p-1)\mathrm{.}$$最小値は $r=n-1$ のときの $p$ であり、そのとき$$l=p^{n-1},2p^{n-1},\dots ,(p-1)p^{n-1}\mathrm{.}$$