名古屋大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1) $$f(x)=x^3+ax+b,g(x)=f(x)+x=x^3+(a+1)x+b$$とおく。

点 $P$ では曲線と直線 $y=-x$ が接するから$$g(p)=0,g^{\mathrm{\prime }}(p)=0.$$したがって $p$ は $g(x)$ の重根である。

また、点 $Q$ における接線が点 $Q$ で $y=-x$ と直交するので、$Q$ 自身も $y=-x$ 上にある。よって $g(q)=0$。$P,Q$ は相異なるから$$g(x)=(x-p{)}^2(x-q)$$と書ける。左辺には $x^2$ の項がないので$$2p+q=0.$$したがって$$q=-2p\mathrm{.}$$(2)

$y=-x$ の傾きは $-1$ だから、それに直交する接線の傾きは $1$。よって$$f^{\mathrm{\prime }}(q)=1,g^{\mathrm{\prime }}(q)=2.$$(1)より$$g(x)=(x-p{)}^2(x+2p)$$であり、$x=-2p$ を代入すると$$g^{\mathrm{\prime }}(-2p)=(-3p{)}^2=9p^2\mathrm{.}$$したがって$$9p^2=2,p=\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}}\mathrm{.}$$一方$$(x-p{)}^2(x+2p)=x^3-3p^{2}x+2p^3\mathrm{.}$$$g(x)=x^3+(a+1)x+b$ と係数を比較すれば$$a+1=-3p^2,b=2p^3\mathrm{.}$$ゆえに$$a=-{\displaystyle \frac{5}{3}},b=\pm {\displaystyle \frac{4\sqrt{2}}{27}}\mathrm{.}$$

点 $P,Q$ がともに $y=-x$ 上にある条件と、2本の接線の傾き条件をそのまま4本の式にする。2つの点条件の差を $p-q$ で割り、点 $P$ の傾き条件を代入すると因数分解で $q=-2p$ が出る。その後は2つの傾き条件の差から $p^2$ を求める。

(1)

$P,Q$ はともに直線 $y=-x$ 上にあるから$$\begin{array}{cccc}& p^3+(a+1)p+b=0,& & \text{(1)}\end{array}$$$$\begin{array}{cccc}& q^3+(a+1)q+b=0.& & \text{(2)}\end{array}$$また、点 $P$ における傾きは $-1$ なので$$\begin{array}{cccc}& 3p^2+a=-1.& & \text{(3)}\end{array}$$(1)から(2)を引くと$$(p-q)\{p^2+pq+q^2+a+1\}=0.$$$P,Q$ は相異なるから $p\mathrm{\ne }q$。また (3) より $a+1=-3p^2$ である。したがって$$p^2+pq+q^2-3p^2=0,$$$$(q-p)(q+2p)=0.$$$q\mathrm{\ne }p$ なので$$q=-2p\mathrm{.}$$(2)

点 $Q$ における接線の傾きは $1$ だから$$\begin{array}{cccc}& 3q^2+a=1.& & \text{(4)}\end{array}$$(4)から (3) を引いて$$3(q^2-p^2)=2.$$$q=-2p$ を代入すると$$9p^2=2.$$よって $p=\pm \sqrt{2}\mathrm{/}3$。さらに (3) から$$a=-1-3p^2=-{\displaystyle \frac{5}{3}}\mathrm{.}$$(1)へ $a+1=-3p^2$ を代入すると$$b=2p^3\mathrm{.}$$したがって$$a=-{\displaystyle \frac{5}{3}},b=\pm {\displaystyle \frac{4\sqrt{2}}{27}}$$である。