名古屋大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

まず $A_1=\{x\mid 1<x<2\}$ であるから、共通部分を考えるときは必ず $x>1$ である。したがって、正の整数 $k$ について $k<x^k<k+1$ は $$\sqrt[k]{k}<x<\sqrt[k]{k+1}$$ と同値である。

よって $A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_n$ が空でないためには、区間 $$(\sqrt[k]{k},\sqrt[k]{k+1})(k=1,2,\dots ,n)$$ が共通部分を持てばよい。

まず $n=4$ まで調べる。下端は $$1,\sqrt{2},\sqrt[3]{3},\sqrt[4]{4}=\sqrt{2}$$ である。ここで $$\sqrt{2}<\sqrt[3]{3}$$ は、両辺を6乗して $2^3<3^2$ となることから成り立つ。したがって下端の最大は $\sqrt[3]{3}$ である。

一方、上端は $2,\sqrt{3},\sqrt[3]{4},\sqrt[4]{5}$ である。この中で最小は $\sqrt[4]{5}$ である。実際、$$\sqrt[4]{5}<\sqrt[3]{4}$$ は $5^3<4^4$ から成り立ち、また $$\sqrt[4]{5}<\sqrt{3}<2$$ も明らかである。

さらに $$\sqrt[3]{3}<\sqrt[4]{5}$$ である。これは両辺を12乗して $3^4<5^3$ すなわち $81<125$ となることからわかる。したがって $A_1\cap A_2\cap A_3\cap A_4$ は空ではない。

次に $n=5$ まで入れる。下端の最大は少なくとも $\sqrt[3]{3}$ であり、上端の最小は高々 $\sqrt[5]{6}$ である。ところが $$\sqrt[5]{6}<\sqrt[3]{3}$$ が成り立つ。両辺を15乗すると $6^3<3^5$ すなわち $216<243$ である。

したがって $A_1\cap \cdots \cap A_5$ は空である。これ以後、集合をさらに加えても共通部分が再び空でなくなることはない。よって求める最大の $n$ は $4$ である。

$n=4$ では具体的に $x=29\mathrm{/}20$ を代入し、4つの不等式をすべて確かめる。$n=5$ では第3条件と第5条件だけを取り出し、$6^{1\mathrm{/}5}<3^{1\mathrm{/}3}$ により同時には満たせないことを示す。

$n=4$ について$$x={\displaystyle \frac{29}{20}}$$をとる。直接計算すると$$1<{\displaystyle \frac{29}{20}}<2,$$$$2<{\left({\displaystyle \frac{29}{20}}\right)}^2={\displaystyle \frac{841}{400}}<3,$$$$3<{\left({\displaystyle \frac{29}{20}}\right)}^3={\displaystyle \frac{24389}{8000}}<4,$$$$4<{\left({\displaystyle \frac{29}{20}}\right)}^4={\displaystyle \frac{707281}{160000}}<5.$$したがって$${\displaystyle \frac{29}{20}}\in A_1\cap A_2\cap A_3\cap A_4$$であり、この共通部分は空でない。

一方、$x\in A_3\cap A_5$ なら $x>1$ で、$$x^3>3,x^5<6.$$よって$$x>3^{1\mathrm{/}3},x<6^{1\mathrm{/}5}\mathrm{.}$$しかし$$6^{1\mathrm{/}5}<3^{1\mathrm{/}3}$$である。実際、両辺を15乗すれば$$6^3=216<243=3^5$$となる。これは矛盾である。

したがって $A_1\cap \cdots \cap A_5$ は空であり、それ以後も空である。
ゆえに最大の $n$ は$$n=4$$である。