名古屋大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1) $f(x)$ は3次式で、$x=0,1$ で極値をとるから$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=kx(x-1)$$と書ける。$x=0$ が極大、$x=1$ が極小となるには $k>0$ である。積分すると$$f(x)=k({\displaystyle \frac{x^3}{3}}-{\displaystyle \frac{x^2}{2}})+C\mathrm{.}$$$f(0)=3$ より $C=3$、また $f(1)=-1$ より$$-{\displaystyle \frac{k}{6}}+3=-1$$だから $k=24$ である。したがって$$f(x)=8x^3-12x^2+3.$$$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=24x(x-1)$$の符号から、$f$ は$$(-\mathrm{\infty },0)\text{で増加},(0,1)\text{で減少},(1,\mathrm{\infty })\text{で増加}$$する。さらに$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty },f(0)=3,f(1)=-1,\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty }$$なので、零点は $(-\mathrm{\infty },0),(0,1),(1,\mathrm{\infty })$ に1つずつある。

(2) 方程式 $f(x)=0$ を$$x^3-{\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2+{\displaystyle \frac{3}{8}}=0$$と書く。その3解は $-\alpha ,\beta ,\gamma$ である。$x$ の係数が0だから、解と係数の関係より$$(-\alpha )\beta +(-\alpha )\gamma +\beta \gamma =0.$$よって$$\alpha ={\displaystyle \frac{\beta \gamma }{\beta +\gamma }}=\beta \cdot {\displaystyle \frac{\gamma }{\beta +\gamma }}\mathrm{.}$$$\beta ,\gamma >0$ なので$$0<{\displaystyle \frac{\gamma }{\beta +\gamma }}<1.$$したがって$$\alpha <\beta$$である。

第(1)問で3次式と増減を求めるところまでは同じである。第(2)問では正の小さい根 $\beta$ と同じ絶対値をもつ点 $-\beta$ の関数値を計算し、負の区間での単調増加から負の根 $-\alpha$ との位置関係を読む。

(1) 極値の条件から$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=kx(x-1)$$とおく。これを積分し、$f(0)=3,f(1)=-1$ を用いると$$k=24,f(x)=8x^3-12x^2+3$$を得る。導関数の符号は$$\begin{array}{cccccc}x& (-\mathrm{\infty },0)& 0& (0,1)& 1& (1,\mathrm{\infty })\\ f^{\mathrm{\prime }}(x)& +& 0& -& 0& +\end{array}$$であるから、グラフは $(0,3)$ で極大、$(1,-1)$ で極小をとり、$x$ 軸と負の側、$0<x<1$、$x>1$ で各1回交わる。

(2) $f(\beta )=0$ だから$$8{\beta }^3-12{\beta }^2+3=0.$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(-\beta )}& {\displaystyle =-8{\beta }^3-12{\beta }^2+3}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(8{\beta }^3-12{\beta }^2+3)-16{\beta }^3}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-16{\beta }^3<0.}\end{array}$$一方、$x<0$ では $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ なので $f$ は狭義に増加し、その区間の零点は $-\alpha$ だけである。$$f(-\beta )<0=f(-\alpha )$$より$$-\beta <-\alpha \mathrm{.}$$両辺の符号を変えると$$\alpha <\beta$$となる。