名古屋大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

第2の放物線の頂点を $(X,Y)$ とおき、$$y=a(x-X{)}^2+Y$$と表す。これは放物線であるから $a\mathrm{\ne }0$ である。

2曲線の交点の $x$ 座標は$$\begin{array}{cccc}& (1-a)x^2+2aXx-(a{X}^2+Y)=0& & \text{(1)}\end{array}$$の相異なる2根である。交点における接線の傾きはそれぞれ
$2x$，$2a(x-X)$ なので、直交条件は$$2x\cdot 2a(x-X)=-1,$$すなわち$$\begin{array}{cccc}& 4a{x}^2-4aXx+1=0& & \text{(2)}\end{array}$$である。(1)，(2) は同じ相異なる2根をもつ。

まず $X\mathrm{\ne }0$ とする。(1) は (2) の $-1\mathrm{/}2$ 倍であるから$$1-a=-2a,-(a{X}^2+Y)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$よって$$\begin{array}{cccc}& a=-1,Y=X^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}& & \text{(3)}\end{array}$$次に $X=0$ とする。(2) が相異なる実数解をもつため $a<0$ で、
その根では $x^2=-1\mathrm{/}(4a)$ である。(1) へ代入すると$$\begin{array}{cccc}& Y={\displaystyle \frac{a-1}{4a}}={\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{4a}}>{\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}& & \text{(4)}\end{array}$$逆に、$X\mathrm{\ne }0$ かつ (3) を満たす点では $a=-1$ とすれば
(1)，(2) は比例し、判別式も正になる。また $X=0$，
$Y>1\mathrm{/}4$ では$$a={\displaystyle \frac{1}{1-4Y}}<0$$とすれば (1)，(2) が同じ相異なる2根をもつ。

したがって求める集合は$$\{(X,Y)\mid Y=X^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}\}\cup \{(0,Y)\mid Y>{\displaystyle \frac{1}{4}}\}\mathrm{.}$$点 $(0,1\mathrm{/}2)$ は両方に含まれる。

交点の $x$ 座標を $u,v$ とおく。交点条件と直交条件から得る
二つの2次方程式に解と係数の関係を使い、$b\mathrm{\ne }0$ と $b=0$ を
分ける。最後に係数から頂点座標を計算する。

交点の $x$ 座標を相異なる実数 $u,v$ とする。交点条件は$$\begin{array}{cccc}& (a-1)x^2+bx+c=0,& & \text{(1)}\end{array}$$接線の直交条件は$$2x(2ax+b)=-1,$$すなわち$$\begin{array}{cccc}& 4a{x}^2+2bx+1=0& & \text{(2)}\end{array}$$である。両式は $u,v$ を共通の2根にもつ。

$b\mathrm{\ne }0$ のとき、解と係数の関係から$$u+v=-{\displaystyle \frac{b}{a-1}}=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}\mathrm{.}$$よって $a-1=2a$、すなわち $a=-1$ である。また$$uv={\displaystyle \frac{c}{a-1}}={\displaystyle \frac{1}{4a}}$$より $c=1\mathrm{/}2$ を得る。頂点は$$X=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}={\displaystyle \frac{b}{2}},Y=c-{\displaystyle \frac{b^2}{4a}}={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{b^2}{4}}$$であるから $X\mathrm{\ne }0$ かつ$$Y=X^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$$b=0$ のとき、(2) が相異なる実数解をもつため $a<0$ である。
共通の根の積を比べると$${\displaystyle \frac{c}{a-1}}={\displaystyle \frac{1}{4a}},$$したがって$$c={\displaystyle \frac{a-1}{4a}}>{\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}$$この場合の頂点は $(0,c)$ である。逆に任意の $c>1\mathrm{/}4$ に対し
$a=1\mathrm{/}(1-4c)<0$ とおけば条件を満たす。

以上より、頂点全体は$$Y=X^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}$$という放物線と、$Y$ 軸上の半直線$$X=0,Y>{\displaystyle \frac{1}{4}}$$の和集合である。