名古屋大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験 確率・数列理系数学 第4問(b)

(1)

4番から3番、5番へはそれぞれ確率 $1\mathrm{/}2$、そこから外側へは確率 $1\mathrm{/}3$、4番へは確率 $2\mathrm{/}3$ で移る。したがって$$p_1={\displaystyle \frac{2}{3}},q_1=r_1={\displaystyle \frac{1}{6}}\mathrm{.}$$(2)

2回推移は次図のとおりである。例えば2番から2番へは $1\mathrm{/}6+(5\mathrm{/}6)(1\mathrm{/}3)=4\mathrm{/}9$、4番へは $(5\mathrm{/}6)(2\mathrm{/}3)=5\mathrm{/}9$。4番からは $1\mathrm{/}6,2\mathrm{/}3,1\mathrm{/}6$ であり、6番側は左右対称である。

左右対称性から$$q_n=r_n$$であり、また $p_n+q_n+r_n=1$。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle p_{n+1}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{5}{9}}{q}_n+{\displaystyle \frac{2}{3}}{p}_n+{\displaystyle \frac{5}{9}}{r}_n}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{5}{9}}+{\displaystyle \frac{1}{9}}{p}_n\mathrm{.}}\end{array}$$定数解は $5\mathrm{/}8$ なので、$p_0=1$ と合わせて$$p_{n+1}-{\displaystyle \frac{5}{8}}={\displaystyle \frac{1}{9}}(p_n-{\displaystyle \frac{5}{8}}),p_n={\displaystyle \frac{5}{8}}+{\displaystyle \frac{3}{8}}{\left({\displaystyle \frac{1}{9}}\right)}^n\mathrm{.}$$また $q_n=r_n=(1-p_n)\mathrm{/}2$ より$$q_n=r_n={\displaystyle \frac{3}{16}}\{1-{\left({\displaystyle \frac{1}{9}}\right)}^n\}$$(3)$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{p}_n={\displaystyle \frac{5}{8}}\mathrm{.}$$

2回ごとの3本の漸化式を立てた後、対称性で $q_n=r_n$ とする。定常値を先に求める代わりに、中心の確率と片側の確率の組 $d_n=p_n-\frac{10}{3}{q}_n$ を作ると、毎回 $1\mathrm{/}9$ 倍になる。確率の和と連立して3数を復元する。

(1)

2回の試行を直接追えば$$p_1={\displaystyle \frac{2}{3}},q_1=r_1={\displaystyle \frac{1}{6}}\mathrm{.}$$(2)

2回を1組とする。箱 $2,4,6$ から2回後の確率を用いると$$\begin{array}{cccc}& p_{n+1}={\displaystyle \frac{5}{9}}{q}_n+{\displaystyle \frac{2}{3}}{p}_n+{\displaystyle \frac{5}{9}}{r}_n,& & \text{(1)}\end{array}$$$$\begin{array}{cccc}& q_{n+1}={\displaystyle \frac{4}{9}}{q}_n+{\displaystyle \frac{1}{6}}{p}_n,& & \text{(2)}\end{array}$$$$\begin{array}{cccc}& r_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{6}}{p}_n+{\displaystyle \frac{4}{9}}{r}_n\mathrm{.}& & \text{(3)}\end{array}$$初期状態が4番で、規則が4番を中心に左右対称なので、(2)、(3)から帰納的に$$q_n=r_n$$である。$$d_n=p_n-{\displaystyle \frac{10}{3}}{q}_n$$とおく。(1)、(2)へ $r_n=q_n$ を代入すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle d_{n+1}}& {\displaystyle =({\displaystyle \frac{2}{3}}{p}_n+{\displaystyle \frac{10}{9}}{q}_n)-{\displaystyle \frac{10}{3}}({\displaystyle \frac{1}{6}}{p}_n+{\displaystyle \frac{4}{9}}{q}_n)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{9}}{p}_n-{\displaystyle \frac{10}{27}}{q}_n}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{9}}{d}_n\mathrm{.}}\end{array}$$$p_0=1,q_0=0$ なので $d_0=1$。したがって$$d_n={\left({\displaystyle \frac{1}{9}}\right)}^n\mathrm{.}$$また$$p_n+2q_n=1.$$これと $$p_n-\frac{10}{3}{q}_n=d_n$$ を解けば$$p_n={\displaystyle \frac{5}{8}}+{\displaystyle \frac{3}{8}}{d}_n,q_n=r_n={\displaystyle \frac{3}{16}}(1-d_n)\mathrm{.}$$ゆえに$$p_n={\displaystyle \frac{5}{8}}+{\displaystyle \frac{3}{8}}{\left({\displaystyle \frac{1}{9}}\right)}^n,q_n=r_n={\displaystyle \frac{3}{16}}\{1-{\left({\displaystyle \frac{1}{9}}\right)}^n\}\mathrm{.}$$(3) $d_n\to 0$ だから、$${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{p}_n={\displaystyle \frac{5}{8}}}$$ である。