名古屋大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)
表の出た回数を $h$ とする。10回中、裏は $10-h$ 回であるから、出発点からの全移動数は $2h+(10-h)=10+h$ である。正方形の頂点は4つなので、移動数を4で割った余りが位置を決める。 $A,B,C,D$ はそれぞれ出発点 $A$ から時計まわりに $0,1,2,3$ だけ進んだ位置である。$10\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ だから、各位置に来る条件は$$A:h\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4),B:h\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4),C:h\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4),D:h\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$$である。

全事象数は $2^{10}=1024$ である。したがって$$P(A)={\displaystyle \frac{{}_{10}{\mathrm{C}}_2+{}_{10}{\mathrm{C}}_6+{}_{10}{\mathrm{C}}_{10}}{1024}}={\displaystyle \frac{45+210+1}{1024}}={\displaystyle \frac{1}{4}},$$$$P(B)={\displaystyle \frac{{}_{10}{\mathrm{C}}_3+{}_{10}{\mathrm{C}}_7}{1024}}={\displaystyle \frac{120+120}{1024}}={\displaystyle \frac{15}{64}},$$$$P(C)={\displaystyle \frac{{}_{10}{\mathrm{C}}_0+{}_{10}{\mathrm{C}}_4+{}_{10}{\mathrm{C}}_8}{1024}}={\displaystyle \frac{1+210+45}{1024}}={\displaystyle \frac{1}{4}},$$$$P(D)={\displaystyle \frac{{}_{10}{\mathrm{C}}_1+{}_{10}{\mathrm{C}}_5+{}_{10}{\mathrm{C}}_9}{1024}}={\displaystyle \frac{10+252+10}{1024}}={\displaystyle \frac{17}{64}}$$である。

(2)
出発点から見た移動先を、時計まわりに $0,1,2,3$ だけ進んだ位置として表す。その確率を$$p_0={\displaystyle \frac{1}{4}},p_1={\displaystyle \frac{15}{64}},p_2={\displaystyle \frac{1}{4}},p_3={\displaystyle \frac{17}{64}}$$とおく。 $P$ 君は $A$ から出発し、$Q$ 君は $B$ から出発する。$Q$ 君は最初から $P$ 君より時計まわりに1つ先にいるので、最終的に同じ位置にいるためには、$P$ 君の移動量が $Q$ 君の移動量より時計まわりに1つ大きい必要がある。したがって求める確率は $p_1{p}_0+p_2{p}_1+p_3{p}_2+p_0{p}_3$ である。これを計算すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle p_1{p}_0+p_2{p}_1+p_3{p}_2+p_0{p}_3}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{15\cdot 16+16\cdot 15+17\cdot 16+16\cdot 17}{{64}^2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1024}{4096}}={\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}}\end{array}$$よって求める確率は ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ である。

各頂点へ着く通り数を、裏なら1頂点、表なら2頂点進む規則で10回更新する。得た4成分を1024で割って分布とし、2人の移動量のずれを掛け合わせる。

(1)
$n$ 回後に $A,B,C,D$ にいる動き方の数を $(a_n,b_n,c_n,d_n)$ とする。裏で1頂点、表で2頂点進むので$$(a_{n+1},b_{n+1},c_{n+1},d_{n+1})=(d_n+c_n,a_n+d_n,b_n+a_n,c_n+b_n)$$である。$$(a_0,b_0,c_0,d_0)=(1,0,0,0)$$ から10回更新すると$$(a_{10},b_{10},c_{10},d_{10})=(256,240,256,272)\mathrm{.}$$全ての表裏の列は $2^{10}=1024$ 通りだから$$P(A)={\displaystyle \frac{1}{4}},P(B)={\displaystyle \frac{15}{64}},P(C)={\displaystyle \frac{1}{4}},P(D)={\displaystyle \frac{17}{64}}\mathrm{.}$$(2)
2人の出発点は1頂点ずれている。したがって同じ頂点に着くには、$P$ 君の移動量が $Q$ 君より1頂点分だけ多ければよい。独立性より、その確率は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle {\displaystyle \frac{240\cdot 256+256\cdot 240+272\cdot 256+256\cdot 272}{{1024}^2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{262144}{1048576}}={\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}}\end{array}$$よって求める確率は $1\mathrm{/}4$ である。