名古屋大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験 確率・ベクトル理系数学 第4問(b)

(1) 全経路は $4^3=64$ 通りである。3回とも同じ向きなら $S=3$ で4通りである。2回が同方向、残り1回が垂直方向なら $S=\sqrt{5}$ で$$4\cdot 2\cdot 3=24$$通りである。残る36通りは、反対向きの一組が打ち消し合うなどして $S=1$ となる。よって$$E(S)={\displaystyle \frac{4\cdot 3+24\sqrt{5}+36}{64}}={\displaystyle \frac{3(2+\sqrt{5})}{8}}\mathrm{.}$$(2) 次の一歩を $(U,V)$ とすると$$E(U)=E(V)=0,U^2+V^2=1.$$したがって$$T_{n+1}=(X_n+U{)}^2+(Y_n+V{)}^2=T_n+2X_{n}U+2Y_{n}V+1.$$現在位置を固定しても次の一歩の平均は0だから$$E(T_{n+1})=E(T_n)+1.$$$T_0=0$ より帰納法で$$E(T_n)=n$$となる。

(1) は一歩の四方向を表す式を3乗し、同じ終点へ着く経路数を係数として読む。(2)は位置を独立な歩ベクトルの和とし、長さの二乗を展開して異なる時刻の内積の期待値が0になることを示す。

(1) 右、左、上、下をそれぞれ $u,u^{-1},v,v^{-1}$ と表すと、3歩後の終点ごとの経路数は$$(u+u^{-1}+v+v^{-1}{)}^3$$の係数で与えられる。指数の組を整理すると、距離3の四終点には各1通り、距離 $\sqrt{5}$ の八終点には各3通り、距離1の四終点には各9通りである。したがって$$E(S)={\displaystyle \frac{4\cdot 3+8\cdot 3\sqrt{5}+4\cdot 9}{64}}={\displaystyle \frac{3(2+\sqrt{5})}{8}}\mathrm{.}$$(2) 第 $j$ 歩のベクトルを $W_j$ とすると$$Z_n=W_1+W_2+\cdots +W_n\mathrm{.}$$各 $W_j$ は長さ1で平均ベクトルが0である。よって$$T_n=\mathrm{\mid }{Z}_n{\mathrm{\mid }}^2=\sum _{j=1}^n\mathrm{\mid }{W}_j{\mathrm{\mid }}^2+2\sum _{1\leqq i<j\leqq n}{W}_i\cdot W_j\mathrm{.}$$異なる歩は独立で平均が0なので $E(W_i\cdot W_j)=0$ である。また $\mathrm{\mid }{W}_j{\mathrm{\mid }}^2=1$ だから$$E(T_n)=\sum _{j=1}^{n}1=n\mathrm{.}$$