名古屋大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)

一回に進む数を3で割った余りで見る。余り $0,1,2$ となる確率は
それぞれ$${\displaystyle \frac{1}{6}},{\displaystyle \frac{2}{3}},{\displaystyle \frac{1}{6}}$$である。したがって$$p_n={\displaystyle \frac{1}{6}}{p}_{n-1}+{\displaystyle \frac{1}{6}}{q}_{n-1}+{\displaystyle \frac{2}{3}}{r}_{n-1}\mathrm{.}$$$$p_{n-1}+q_{n-1}+r_{n-1}=1$$ より$$p_n={\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}{r}_{n-1}\mathrm{.}$$(2)

3回後に同じ点へ戻る確率は$${\left({\displaystyle \frac{1}{6}}\right)}^3+{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^3+{\left({\displaystyle \frac{1}{6}}\right)}^3+6\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{5}{12}}\mathrm{.}$$3回後に右隣の点へ行く確率は$$3{\left({\displaystyle \frac{1}{6}}\right)}^2{\displaystyle \frac{2}{3}}+3\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}{\left({\displaystyle \frac{1}{6}}\right)}^2+3{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^2{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{7}{24}}\mathrm{.}$$左隣へ行く確率も $7\mathrm{/}24$ である。

$P_n=p_{3n}$ とおくと $P_0=1$ であり、$$P_{n+1}={\displaystyle \frac{5}{12}}{P}_n+{\displaystyle \frac{7}{24}}(1-P_n)={\displaystyle \frac{7}{24}}+{\displaystyle \frac{1}{8}}{P}_n\mathrm{.}$$よって$$P_{n+1}-{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{1}{8}}(P_n-{\displaystyle \frac{1}{3}})\mathrm{.}$$したがって$$p_{3n}=P_n={\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{3\cdot 8^n}}\mathrm{.}$$

一回の移動の重みを多項式 $F(x)=(1+4x+x^2)\mathrm{/}6$ にまとめる。
$3n$ 回後に $A$ へ戻るのは指数が3の倍数の項である。
1の3乗根を代入して3の倍数項だけを取り出し、$F(\omega )$ を
簡単化する。

(1)

一回で $0,1,2$ 個進む確率は $1\mathrm{/}6,2\mathrm{/}3,1\mathrm{/}6$ である。
一つ前に $A,B,C$ にいる場合を分ければ$$p_n={\displaystyle \frac{1}{6}}{p}_{n-1}+{\displaystyle \frac{1}{6}}{q}_{n-1}+{\displaystyle \frac{2}{3}}{r}_{n-1}={\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}{r}_{n-1}\mathrm{.}$$(2)

一回の移動を表す多項式を$$F(x)={\displaystyle \frac{1+4x+x^2}{6}}$$とする。$F(x{)}^{3n}$ の $x^k$ の係数は、$3n$ 回で合計
$k$ 個進む確率である。

${\omega }^3=1$、$\omega \mathrm{\ne }1$ を満たす複素数 $\omega$ を
とると$$1+\omega +{\omega }^2=0.$$任意の整数 $k$ について$$1+{\omega }^k+{\omega }^{2k}=\{\begin{array}{ll}3& (k\text{が3の倍数}),\\ 0& (k\text{が3の倍数でない})\end{array}$$である。したがって$$\begin{array}{cccc}& p_{3n}={\displaystyle \frac{1}{3}}\{F(1{)}^{3n}+F(\omega {)}^{3n}+F({\omega }^2{)}^{3n}\}\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$$F(1)=1$ である。また$$F(\omega )={\displaystyle \frac{1+4\omega +{\omega }^2}{6}}={\displaystyle \frac{\omega }{2}},F({\omega }^2)={\displaystyle \frac{{\omega }^2}{2}}\mathrm{.}$$これを (1) へ代入すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle p_{3n}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{3}}\{1+{\left({\displaystyle \frac{\omega }{2}}\right)}^{3n}+{\left({\displaystyle \frac{{\omega }^2}{2}}\right)}^{3n}\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{3\cdot 8^n}}\mathrm{.}}\end{array}$$