名古屋大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験 関数・微分理系数学 第4問(a)

(1)

グラフ $C$ が原点対称なので$$f(-x)=-f(x),f(0)=0.$$$0\leqq x\leqq a$ で$$g(x)=f(a)-f(a-x)-f(x)$$とおく。両端では $g(0)=g(a)=0$。また $0<x<a$ で$$g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(a-x)-f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)<0.$$よって $g$ は厳密に上に凸であり、区間内部では $g(x)>0$。奇関数性から $f(x-a)=-f(a-x)$ なので$$f(x-a)>f(x)-f(a)(0<x<a)$$を得る。

$C_a$ の式は$$y=f(x-a)+f(a)$$である。交点を調べるため$$H(x)=f(x)-f(x-a)-f(a)$$とおく。$H(0)=H(a)=0$ であり、今示した不等式から $0<x<a$ では $H(x)<0$。

$x>a$ では $x>x-a>0$ だから、$f^{\mathrm{\prime }}$ が $x>0$ で増加することより$$H^{\mathrm{\prime }}(x)=f^{\mathrm{\prime }}(x)-f^{\mathrm{\prime }}(x-a)>0.$$ゆえに $H(x)>H(a)=0$。

$x<0$ では $f^{\mathrm{\prime }}$ が偶関数であるから$$H^{\mathrm{\prime }}(x)=f^{\mathrm{\prime }}(-x)-f^{\mathrm{\prime }}(a-x)<0$$である。$H(0)=0$ より $x<0$ で $H(x)>0$。したがって交点は$$(0,0),(a,f(a))$$の2点だけである。

(2)

$0<x<a$ では $C_a$ が $C$ より上にある。囲まれた面積を $S(a)$ とすると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S(a)}& {\displaystyle ={\int }_0^a\{f(x-a)+f(a)-f(x)\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =af(a)-2{\int }_0^{a}f(x)dx\mathrm{.}}\end{array}$$条件から$$af(a)-2{\int }_0^{a}f(x)dx=a^4\mathrm{.}$$両辺を $a$ で微分すると$$a{f}^{\mathrm{\prime }}(a)-f(a)=4a^3\mathrm{.}$$したがって$${\left({\displaystyle \frac{f(a)}{a}}\right)}^{\mathrm{\prime }}=4a\mathrm{.}$$積分して$${\displaystyle \frac{f(a)}{a}}=2a^2+C,$$ゆえに$$f(x)=2x^3+Cx$$である。

逆に、この多項式は奇関数であり$$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=12x>0(x>0)\mathrm{.}$$また$$\begin{array}{rl}{\displaystyle af(a)-2{\int }_0^{a}f(x)dx}& {\displaystyle =a(2a^3+Ca)-2{\int }_0^a(2x^3+Cx)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a^4\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$f(x)=2x^3+Cx(C\text{ は任意の実数})\mathrm{.}$$

(1) は $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}>0$ による厳密な凸性を、原点と $(a,f(a))$ を結ぶ弦との比較として使う。(2) は $f$ が奇多項式であることから奇数次の項だけを書き、各単項式が面積へ与える係数を直接計算する。恒等式 $S(a)=a^4$ の係数比較で三次項以外を消す。

(1)

原点対称より $f$ は奇関数であり、$f(0)=0$。また $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)>0$ だから、$x>0$ でグラフは厳密に下に凸である。したがって $0<x<a$ では、グラフは $(0,0)$ と $(a,f(a))$ を結ぶ弦より下にあり$$f(x)<{\displaystyle \frac{x}{a}}f(a),f(a-x)<{\displaystyle \frac{a-x}{a}}f(a)\mathrm{.}$$2式を加えると$$f(x)+f(a-x)<f(a)\mathrm{.}$$$f(x-a)=-f(a-x)$ なので$$f(x-a)>f(x)-f(a)$$を得る。

$x>a$ では、$f^{\mathrm{\prime }}$ が増加するため、長さ $a$ の区間上の増分は右へ移すほど大きい。よって$$f(x)-f(x-a)>f(a)-f(0)=f(a)\mathrm{.}$$$x<0$ で $u=-x>0$ と置けば$$f(x)-f(x-a)-f(a)=f(u+a)-f(u)-f(a)>0.$$したがって $0<x<a$ では2曲線の差の符号が反対で、区間外では0にならない。交点は $(0,0)$、$(a,f(a))$ のみである。

(2)

$f$ は奇多項式なので、ある実数 $c_0,c_1,\dots ,c_m$ を用いて$$f(x)=\sum _{k=0}^m{c}_k{x}^{2k+1}$$と書ける。(1)から面積は$$S(a)=af(a)-2{\int }_0^{a}f(x)dx\mathrm{.}$$各項ごとに計算すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S(a)}& {\displaystyle =\sum _{k=0}^m{c}_k(1-{\displaystyle \frac{2}{2k+2}})a^{2k+2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sum _{k=1}^m{\displaystyle \frac{k}{k+1}}{c}_k{a}^{2k+2}\mathrm{.}}\end{array}$$これがすべての $a>0$ について $a^4$ に等しい。多項式の係数を比較すると$${\displaystyle \frac{1}{2}}{c}_1=1,c_k=0(k\geqq 2)\mathrm{.}$$$c_0$ は面積に影響しないので任意である。よって$$f(x)=2x^3+c_{0}x\mathrm{.}$$この形なら $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=12x>0$ であり、条件を確かに満たす。