名古屋大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験 確率・数列理系数学 第4問(a)

(1) $2n=4$ 回までの試行順は $A_1,B_1,A_2,B_2$ である。 $A$ が勝つには、$A_2$ が全体で2回目の当たりでなければならない。そのためには、$A_1,B_1$ のうちちょうど1回当たりが出て、さらに $A_2$ が当たればよい。したがって $$P_2(A)=\{p(1-q)+(1-p)q\}p$$ であり $P_2(A)=p(p+q-2pq)$ である。 $B$ が勝つ場合は、$B_1$ が2回目の当たりになる場合と、$B_2$ が2回目の当たりになる場合に分ける。$B_1$ が2回目になるには $A_1,B_1$ がともに当たりなので、確率は $pq$ である。

次に $B_2$ が2回目になるには、$A_1,B_1,A_2$ のうちちょうど1回当たりが出て、さらに $B_2$ が当たればよい。最初の3回で当たりがちょうど1回出る確率は $2p(1-p)(1-q)+q(1-p{)}^2$ である。よって $$P_2(B)=pq+q\{2p(1-p)(1-q)+q(1-p{)}^2\}$$ である。

(2) $$r=(1-p)(1-q),c=p(1-q)+(1-p)q=p+q-2pq$$ とおく。$r$ は、$A,B$ が1回ずつ引いてどちらも外れる確率であり、$c$ はその2回のうちちょうど1回だけ当たる確率である。 $A$ の $m$ 回目の試行は、全体では $2m-1$ 回目である。これが全体で2回目の当たりになるためには、その直前まで、つまり $A$ と $B$ の試行がそれぞれ $m-1$ 回ずつ終わった時点で、当たりがちょうど1回出ていなければならない。 $m-1$ 組のうち、当たりが出る組を1つ選ぶ方法は $m-1$ 通りである。その組でちょうど1回当たりが出る確率は $c$、残りの $m-2$ 組ですべて外れる確率は $r^{m-2}$ である。したがって、直前までに当たりがちょうど1回である確率は $(m-1)c{r}^{m-2}$ である。さらに $A_m$ が当たる確率 $p$ を掛けると、$A_m$ で $A$ が勝つ確率は $p(m-1)c{r}^{m-2}$ である。 $2n$ 回までに $A$ が勝つには、$m=2,3,\dots ,n$ のいずれかで上のことが起こればよい。よって $$P_n(A)=\sum _{m=2}^{n}p(m-1)c{r}^{m-2}=pc\sum _{j=0}^{n-2}(j+1)r^j$$ である。

ここで $$\sum _{j=0}^{n-2}(j+1)r^j={\displaystyle \frac{1-n{r}^{n-1}+(n-1)r^n}{(1-r{)}^2}}$$ であるから $$P_n(A)={\displaystyle \frac{p(p+q-2pq)\{1-n{r}^{n-1}+(n-1)r^n\}}{(1-r{)}^2}}$$ である。ただし $r=(1-p)(1-q)$ である。

$A,B$ が1回ずつ引く2試行を1段階とする。段階終了時に当たりが0回または1回である確率を漸化式で表す。次の $A$ の試行が2回目の当たりとなる確率を各段階で足す。

(1) $$r=(1-p)(1-q),c=p(1-q)+(1-p)q$$とおく。4回までに $A$ が勝つのは、最初の $A,B$ の2回で当たりが
ちょうど1回あり、次の $A$ が当たる場合だから$$P_2(A)=pc=p(p+q-2pq)\mathrm{.}$$$B$ が勝つのは、最初の2回がともに当たりである場合か、最初の3回で
当たりがちょうど1回あり、最後の $B$ が当たる場合である。よって$$P_2(B)=pq+q\{2p(1-p)(1-q)+q(1-p{)}^2\}\mathrm{.}$$(2)
$k$ 段階、すなわち $A,B$ がそれぞれ $k$ 回引き終えた時点で、
当たりが0回である確率を $u_k$、1回である確率を $v_k$ とする。$$u_0=1,v_0=0$$であり、1段階で両方外れる確率が $r$、ちょうど1回当たる確率が $c$ なので$$u_{k+1}=r{u}_k,v_{k+1}=r{v}_k+c{u}_k\mathrm{.}$$したがって$$u_k=r^k,v_k=kc{r}^{k-1}\mathrm{.}$$$A$ の $m$ 回目が全体の2回目の当たりになる確率は、
直前の $m-1$ 段階で当たりが1回で、さらに $A$ が当たる確率だから$$p{v}_{m-1}=p(m-1)c{r}^{m-2}\mathrm{.}$$これを $m=2,\dots ,n$ について足すと$$P_n(A)=pc\sum _{j=0}^{n-2}(j+1)r^j\mathrm{.}$$有限和を整理して$$P_n(A)={\displaystyle \frac{p(p+q-2pq)\{1-n{r}^{n-1}+(n-1)r^n\}}{(1-r{)}^2}},$$ただし $r=(1-p)(1-q)$ である。