名古屋大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験 確率・数列理系数学 第4問(a)

(1) 表が連続しない $n$ 回の出方の個数を $a_n$ とする。最後が裏なら、前の $n-1$ 回は条件を満たす任意の出方でよく、$a_{n-1}$ 通りである。

最後が表なら、その直前は必ず裏である。末尾の「裏、表」を除いた前 $n-2$ 回は条件を満たす任意の出方でよいから、$a_{n-2}$ 通りである。したがって$$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}(n\geqq 3)\mathrm{.}$$$p_n=a_n\mathrm{/}{2}^n$ なので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle p_n}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a_{n-1}}{2^n}}+{\displaystyle \frac{a_{n-2}}{2^n}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}{p}_{n-1}+{\displaystyle \frac{1}{4}}{p}_{n-2}(n\geqq 3)\mathrm{.}}\end{array}$$(2) $a_1=2,a_2=3$ から$$\begin{array}{ccccccccccc}n& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10\\ a_n& 2& 3& 5& 8& 13& 21& 34& 55& 89& 144\end{array}$$となる。したがって$$p_{10}={\displaystyle \frac{144}{2^{10}}}={\displaystyle \frac{9}{64}}\mathrm{.}$$

表がちょうど $k$ 回出る場合を考える。表の位置の間に少なくとも1つ裏が必要なので、位置番号をずらすと、$n-k+1$ 個から $k$ 個を選ぶ通常の組合せに直る。$n=10$ で $k=0,\dots ,5$ を足す。

(1) 解法1と同様に末尾で分けると、確率は$$p_n={\displaystyle \frac{1}{2}}{p}_{n-1}+{\displaystyle \frac{1}{4}}{p}_{n-2}(n\geqq 3)$$を満たす。

(2) 別の数え方で $p_{10}$ を求める。$n$ 回中、表がちょうど $k$ 回出て、その位置を$$1\leqq i_1<i_2<\cdots <i_k\leqq n$$とする。表が連続しない条件は $i_{j+1}\geqq i_j+2$ である。$$j_m=i_m-(m-1)$$とずらすと$$1\leqq j_1<j_2<\cdots <j_k\leqq n-k+1.$$よって、そのような出方は$${}_{n-k+1}{C}_k$$通りである。

$n=10$ では $0\leqq k\leqq 5$ だから、適合する出方の総数は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{k=0}^5{}_{11-k}{C}_k}& {\displaystyle =1+10+36+56+35+6}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =144.}\end{array}$$したがって$$p_{10}={\displaystyle \frac{144}{1024}}={\displaystyle \frac{9}{64}}\mathrm{.}$$