名古屋大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1) $$P=(s,0,1)(0\leqq s\leqq 1)$$とおく。底面の円板上の点を $(\xi ,\eta ,0)$ とすると
${\xi }^2+{\eta }^2\leqq 1$ である。頂点と底面上の点を結ぶ線分の
高さ $h$ の点は$$((1-h)\xi +hs,(1-h)\eta ,h)$$と表される。

したがって、固定した $s$ に対する断面は中心 $(hs,0)$、
半径 $1-h$ の円板である。$s$ が $0$ から $1$ まで
動くと中心は長さ $h$ の線分上を動く。よって全体の断面は、
長さ $h$、幅 $2(1-h)$ の長方形に、半径 $1-h$ の
半円を左右へ一つずつ付けた形である。

ゆえに切り口の面積は$$S(h)=2h(1-h)+\pi (1-h{)}^2\mathrm{.}$$(2)$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{Vol}(D)}& {\displaystyle ={\int }_0^{1}S(h)dh}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^1\{2h(1-h)+\pi (1-h{)}^2\}dh}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{\pi }{3}}={\displaystyle \frac{\pi +1}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$

高さ $h$ を固定し、$r=1-h$ とおく。縦座標 $y$ ごとに、
動く円板の和集合が占める $x$ の区間を直接求める。その横幅を
$y$ について積分し、円の面積を使って断面積を得る。

(1)

高さ $h$ を固定し$$r=1-h$$とおく。中心 $(t,0)$ が $0\leqq t\leqq h$ を動く
半径 $r$ の円板の和集合を考える。

$-r\leqq y\leqq r$ を固定すると、一番左の点は中心 $0$ の
円板上、一番右の点は中心 $h$ の円板上にある。したがって
$x$ の範囲は$$-\sqrt{r^2-y^2}\leqq x\leqq h+\sqrt{r^2-y^2}\mathrm{.}$$よって断面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S(h)}& {\displaystyle ={\int }_{-r}^r\{h+2\sqrt{r^2-y^2}\}dy}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2hr+\pi r^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2h(1-h)+\pi (1-h{)}^2\mathrm{.}}\end{array}$$ここで$${\int }_{-r}^{r}2\sqrt{r^2-y^2}dy=\pi r^2$$は半径 $r$ の円の面積である。

(2)

したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{Vol}(D)}& {\displaystyle ={\int }_0^1\{2h(1-h)+\pi (1-h{)}^2\}dh}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\pi +1}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$