名古屋大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

座標を$$F_1=(-1,0,0),F_2=(1,0,0),O=(0,0,0)$$となるように取る。条件 $P{F}_1+P{F}_2\leqq 6$ は、焦点間距離2、長半径3の回転楕円体を表す。短半径は$$\sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt{2}$$だから、その内部は$$\begin{array}{cccc}& {\displaystyle \frac{x^2}{9}}+{\displaystyle \frac{y^2+z^2}{8}}\leqq 1.& & \text{(1)}\end{array}$$$x$ を固定したとき、(1)の断面円の半径の2乗は$$R_E^2=8(1-{\displaystyle \frac{x^2}{9}})\mathrm{.}$$一方、球 $OP<r$ の断面円の半径の2乗は、$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<r$ で$$R_B^2=r^2-x^2\mathrm{.}$$両断面が一致する境目は$$8(1-{\displaystyle \frac{x^2}{9}})=r^2-x^2$$より$$x^2=9(r^2-8)\mathrm{.}$$そこで$$x_0=3\sqrt{r^2-8}$$とおく。範囲 $2\sqrt{2}\leqq r\leqq 3$ では $0\leqq x_0\leqq r$ である。

対称性から $x\geqq 0$ の体積を2倍する。$x_0\leqq x\leqq r$ では楕円体の断面から球の断面を引いた円環が残り、$r\leqq x\leqq 3$ では楕円体の断面全体が残る。したがって$$\begin{array}{cccc}& \begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =2\pi {\int }_{x_0}^r\{8(1-{\displaystyle \frac{x^2}{9}})-(r^2-x^2)\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +2\pi {\int }_r^{3}8(1-{\displaystyle \frac{x^2}{9}})dx\mathrm{.}}\end{array}& & \text{(2)}\end{array}$$$$s=\sqrt{r^2-8}$$ とおけば $x_0=3s$ である。第1の積分は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{3s}^r(8-r^2+{\displaystyle \frac{x^2}{9}})dx}& {\displaystyle ={[(8-r^2)x+{\displaystyle \frac{x^3}{27}}]}_{3s}^r}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =8r-{\displaystyle \frac{26}{27}}{r}^3+2s^3,}\end{array}$$第2の積分は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_r^3(8-{\displaystyle \frac{8x^2}{9}})dx}& {\displaystyle ={[8x-{\displaystyle \frac{8x^3}{27}}]}_r^3}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =16-8r+{\displaystyle \frac{8}{27}}{r}^3\mathrm{.}}\end{array}$$これらを (2) に代入すると$$V=4\pi \{8-{\displaystyle \frac{r^3}{3}}+(r^2-8{)}^{3\mathrm{/}2}\}\mathrm{.}$$$r=3$ ではこの値が0となり、球が楕円体を覆う境界の場合とも一致する。

まず回転楕円体全体の体積を求める。球との共通部分は、中心付近では楕円体の断面全体、外側では球の断面全体になるため、断面が一致する $x_0$ で積分を分ける。最後に全体から共通部分を引く。

回転楕円体$${\displaystyle \frac{x^2}{9}}+{\displaystyle \frac{y^2+z^2}{8}}\leqq 1$$の半軸は $3,2\sqrt{2},2\sqrt{2}$ だから、その体積は$$\begin{array}{cccc}& V_E={\displaystyle \frac{4\pi }{3}}\cdot 3\cdot 2\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}=32\pi \mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$球 $OP<r$ との共通部分を考える。2つの断面円が一致する位置は$$x_0=3\sqrt{r^2-8}$$である。$0\leqq x\leqq x_0$ では楕円体の断面が球の内側にあり、$x_0\leqq x\leqq r$ では球の断面が楕円体の内側にある。したがって共通部分の体積 $V_I$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V_I}& {\displaystyle =2\pi {\int }_0^{x_0}8(1-{\displaystyle \frac{x^2}{9}})dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +2\pi {\int }_{x_0}^r(r^2-x^2)dx\mathrm{.}}\end{array}$$$$s=\sqrt{r^2-8}$$、$x_0=3s$ を代入して整理すると$$V_I=4\pi \{{\displaystyle \frac{r^3}{3}}-s^3\}\mathrm{.}$$求める体積は楕円体のうち球の外側なので、(1)から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =V_E-V_I}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4\pi \{8-{\displaystyle \frac{r^3}{3}}+(r^2-8{)}^{3\mathrm{/}2}\}\mathrm{.}}\end{array}$$