名古屋大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験 図形と方程式・ベクトル理系数学 第4問(b)

頂点の位置ベクトルを同じ文字 $A,B,C,D$ で表し、重心を原点に取る。このとき$$\begin{array}{cccc}& A+B+C+D=\mathbf{0}\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$$AD=BC$ を用いる。(1)より $D=-(A+B+C)$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 0}& {\displaystyle =\mathrm{\mid }A-D{\mathrm{\mid }}^2-\mathrm{\mid }B-C{\mathrm{\mid }}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mathrm{\mid }2A+B+C{\mathrm{\mid }}^2-\mathrm{\mid }B-C{\mathrm{\mid }}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4(A+B)\cdot (A+C)\mathrm{.}}\end{array}$$よって $A+B$ と $A+C$ は垂直である。同様に $AC=BD,AB=CD$ を使うと$$A+B,A+C,A+D$$は互いに垂直である。

これらの方向を3本の座標軸に取ると、正の数 $u,v,w$ を用いて$$\begin{array}{cccc}& \begin{array}{rlrl}{\displaystyle A}& {\displaystyle =(u,v,w),}& {\displaystyle B}& {\displaystyle =(u,-v,-w),}\\ {\displaystyle C}& {\displaystyle =(-u,v,-w),}& {\displaystyle D}& {\displaystyle =(-u,-v,w)}\end{array}& & \text{(2)}\end{array}$$と表せる。四面体が退化していないので $u,v,w>0$ である。

(2) から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A{B}^2}& {\displaystyle =C{D}^2=4(v^2+w^2),}\\ {\displaystyle A{C}^2}& {\displaystyle =B{D}^2=4(u^2+w^2),}\\ {\displaystyle A{D}^2}& {\displaystyle =B{C}^2=4(u^2+v^2)\mathrm{.}}\end{array}$$三角形 $ABC$ の角 $A$ について$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}& {\displaystyle =8w^2>0.}\end{array}$$余弦定理より $\mathrm{\angle }A<\pi \mathrm{/}2$ である。同様に$$A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2=8v^2>0,$$$$A{C}^2+B{C}^2-A{B}^2=8u^2>0$$だから $\mathrm{\angle }B,\mathrm{\angle }C$ も鋭角である。したがって $\mathrm{△}ABC$ は鋭角三角形である。

三角形 $ABC$ の辺長を、等しい向かい合う辺ごとに $x,y,z$ とおく。向かい合う2辺の中点間距離を展開すると、他の2辺の2乗和からその辺の2乗を引いた量が得られる。非退化な四面体ではこの距離が正なので、3つの鋭角条件が順に従う。

辺長を$$AB=CD=x,AC=BD=y,AD=BC=z$$とおく。

まず辺 $AB$ の中点を $M$、辺 $CD$ の中点を $N$ とする。位置ベクトルを用いて展開すると、一般に$$\begin{array}{cccc}& \begin{array}{rl}{\displaystyle 4M{N}^2}& {\displaystyle =A{C}^2+A{D}^2+B{C}^2+B{D}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle -A{B}^2-C{D}^2\mathrm{.}}\end{array}& & \text{(1)}\end{array}$$実際、両辺は $\mathrm{\mid }C+D-A-B{\mathrm{\mid }}^2$ を展開した同じ式になる。

与えられた辺長を (1) に代入すると$$4M{N}^2=2(y^2+z^2-x^2),$$したがって$$\begin{array}{cccc}& y^2+z^2-x^2=2M{N}^2>0.& & \text{(2)}\end{array}$$ここで $M=N$ なら $A+B=C+D$ となり、4点は1つの平面上の平行四辺形を作って四面体が退化するため、$MN>0$ である。

同様に、辺 $AC,BD$ の中点間距離、辺 $AD,BC$ の中点間距離を考えると$$\begin{array}{cccc}& x^2+z^2-y^2>0,x^2+y^2-z^2>0.& & \text{(3)}\end{array}$$三角形 $ABC$ の辺長は $x,y,z$ である。(2),(3)は、それぞれ各辺の2乗が残り2辺の2乗和より小さいことを表す。余弦定理より3つの角はすべて $\pi \mathrm{/}2$ より小さい。よって $\mathrm{△}ABC$ は鋭角三角形である。