名古屋大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)

変換前の点を $(x,y)$、変換後の点を $(X,Y)$ とすると、
問題文の行列が表す1次変換は$$X=x,Y=-2x+y$$である。$y=px+q$ 上では$$Y=-2X+pX+q=(p-2)X+q$$となる。したがって移された直線 $l$ は$$y=(p-2)x+q$$である。

$m=p-2$ とおく。原点から直線 $mx-y+q=0$ までの距離は$${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }}{\sqrt{m^2+1}}}$$である。これが $1$ 以下であることが、単位円と交わるための
必要十分条件なので$$q^2\leqq m^2+1.$$よって求める範囲は$$\begin{array}{cccc}& q^2\leqq (p-2{)}^2+1.& & \text{(1)}\end{array}$$(2)

接するときは (1) で等号が成り立つ。接点は原点から
$mx-y+q=0$ へ下ろした垂線の足であるから$$(x,y)=(-{\displaystyle \frac{mq}{m^2+1}},{\displaystyle \frac{q}{m^2+1}})\mathrm{.}$$$m=p-2$ を戻すと、接点は$$(-{\displaystyle \frac{(p-2)q}{(p-2{)}^2+1}},{\displaystyle \frac{q}{(p-2{)}^2+1}})$$である。

変換後の直線を円の方程式へ代入し、交点の $x$ 座標に関する
2次方程式を作る。(1) は判別式が0以上、(2) は重解という条件で
一続きに処理する。

1次変換により$$l:y=(p-2)x+q$$となる。$m=p-2$ とおき、これを単位円へ代入すると$$x^2+(mx+q{)}^2=1,$$すなわち$$\begin{array}{cccc}& (1+m^2)x^2+2mqx+q^2-1=0.& & \text{(1)}\end{array}$$(1)

円と直線が交わるための条件は、(1) の判別式が0以上であること
だから$$(2mq{)}^2-4(1+m^2)(q^2-1)\geqq 0.$$整理すると$$q^2\leqq m^2+1,$$よって$$q^2\leqq (p-2{)}^2+1.$$(2)

接するとき (1) は重解をもち、その重解は$$x=-{\displaystyle \frac{mq}{1+m^2}}\mathrm{.}$$これを $y=mx+q$ へ代入すると$$y={\displaystyle \frac{q}{1+m^2}}\mathrm{.}$$したがって接点は$$(-{\displaystyle \frac{(p-2)q}{(p-2{)}^2+1}},{\displaystyle \frac{q}{(p-2{)}^2+1}})\mathrm{.}$$