名古屋大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験 図形と方程式理系数学 第4問(b)

$$\mathrm{\angle }OAB=\alpha ,t=\tan \alpha$$ とおく。直角三角形なので $0<\alpha <{90}^{\circ }$、したがって $t>0$ である。座標を $$O=(0,0),A=(1,0),B=(0,t)$$ と定める。

反射の法則を使うために、反射する辺を鏡として三角形を次々に展開する。すると、実際の折れ線の経路は展開図では一直線になる。3つの辺すべてに1回ずつ当たる順序を調べると、反射点がすべて辺の内部に入り得るのは $OB\to AB\to OA$ の順だけである。他の順序では、展開図で直線が最初または最後に頂点 $A,B$ を通ってしまうか、反射点が対応する辺分の外に出る。

そこで、この順に展開する。すなわち、まず辺 $OB$ で反射し、次に展開された辺 $AB$ で反射し、最後に展開された辺 $OA$ で反射する。3回展開した後の $B$ を反射して得た点を $B^{\mathrm{\prime }}$ とすると、反射計算により $$B^{\mathrm{\prime }}=(-{\displaystyle \frac{4t^2}{1+t^2}},-{\displaystyle \frac{t(t^2-3)}{1+t^2}})$$ である。したがって、展開図での玉の道筋は直線 $A{B}^{\mathrm{\prime }}$ である。

この直線が、1回目、2回目、3回目の反射辺と交わる点をそれぞれ調べる。各反射辺上で、端点から端点までの割合を計算すると、順に$${\displaystyle \frac{3-t^2}{5t^2+1}},{\displaystyle \frac{3-t^2}{2(1+t^2)}},{\displaystyle \frac{3t^2-1}{t^2+5}}$$となる。これらがすべて辺の内部にあるためには、いずれも $0$ より大きく $1$ より小さくなければならない。

第1、第2の割合が正であるためには $t^2<3$ が必要であり、第3の割合が正であるためには $t^2>{\displaystyle \frac{1}{3}}$ が必要である。また、それぞれが $1$ より小さい条件からも同じく $$t^2>{\displaystyle \frac{1}{3}},t^2<3$$ が出る。したがって反射点が3つとも辺の内部に入る条件は ${\displaystyle \frac{1}{3}}<t^2<3$ である。

さらに、直線 $A{B}^{\mathrm{\prime }}$ が3つの反射辺をこの順に横切る条件も同じ不等式で表される。実際、直線上の進行割合は ${\displaystyle \frac{1+t^2}{1+5t^2}},{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{4}{t^2+5}}$ となり、これらがこの順に並ぶことは ${\displaystyle \frac{1}{3}}<t^2<3$ と同値である。

よって $${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}<t<\sqrt{3}$$ である。$t=\tan \alpha$、$0<\alpha <{90}^{\circ }$ だから $${30}^{\circ }<\alpha <{60}^{\circ }$$ である。すなわち求める条件は $${30}^{\circ }<\mathrm{\angle }OAB<{60}^{\circ }$$ である。

3辺を順に反射して一直線へ展開する点は解法1と同じだが、交点の符号を長い座標式のまま比較せず、三倍角の符号へ読み替える。最初と最後の反射点が辺の内部に入る条件が$\sin 3\alpha >0$、$\cos 3\alpha <0$ になる。

$$\alpha =\mathrm{\angle }OAB,0<\alpha <{90}^{\circ }$$とする。反射する辺を鏡として三角形を展開すると、玉の経路は一直線になる。
始点 $A$ から終点 $B$ までに3辺を1回ずつ横切るには、反射順は$$OB⟶AB⟶OA$$でなければならない。

この順に3つの三角形を展開する。各交点が対応する辺の内部にあるかを、
展開図の小三角形へ正弦定理を用いて調べると、最初の交点の符号は$$\sin 3\alpha$$と同じになり、最後の交点の符号は$$-\cos 3\alpha$$と同じになる。中間の交点は常に展開辺の中点にある。したがって3交点が
すべて辺の内部にあり、正しい順に並ぶための必要十分条件は$$\sin 3\alpha >0,\cos 3\alpha <0.$$$0<3\alpha <{270}^{\circ }$ の範囲で2条件を同時に満たすのは$${90}^{\circ }<3\alpha <{180}^{\circ }\mathrm{.}$$よって$${30}^{\circ }<\alpha <{60}^{\circ }\mathrm{.}$$端点では反射点が三角形の頂点に一致し、「各辺で1回ずつ当たる」経路にならないため、
不等号は厳密である。したがって$${30}^{\circ }<\mathrm{\angle }OAB<{60}^{\circ }$$が求める条件である。