名古屋大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

高さであるから $a>0$ である。$$B=(u,u),C=(v,-v)$$とおく。半直線上にあるので $u,v\geqq 0$ だが、$u=0$ または
$v=0$ では原点が直線 $BC$ 上にあり、「反対側」が定まらない。
よって$$u>0,v>0.$$$BC=2$ より$$(u-v{)}^2+(u+v{)}^2=4,$$したがって$$\begin{array}{cccc}& u^2+v^2=2.& & \text{(1)}\end{array}$$底辺の中点は$$M=({\displaystyle \frac{u+v}{2}},{\displaystyle \frac{u-v}{2}})$$である。原点と反対側を向く $BC$ の単位法線ベクトルは$${\displaystyle \frac{1}{2}}(u+v,v-u)$$なので、$A=(X,Y)$ は$$\begin{array}{cccc}& X={\displaystyle \frac{1+a}{2}}(u+v),Y={\displaystyle \frac{1-a}{2}}(u-v)\mathrm{.}& & \text{(2)}\end{array}$$$S=u+v$、$T=u-v$ とおくと、(1) は$$S^2+T^2=4$$となる。また $u,v>0$ より$$\begin{array}{cccc}& \sqrt{2}<S\leqq 2.& & \text{(3)}\end{array}$$$a\mathrm{\ne }1$ のとき、(2) から $S,T$ を消去すると$${\displaystyle \frac{X^2}{(1+a{)}^2}}+{\displaystyle \frac{Y^2}{(1-a{)}^2}}=1.$$(3) より実際に描く部分は$$\begin{array}{cccc}& {\displaystyle \frac{1+a}{\sqrt{2}}}<X\leqq 1+a\mathrm{.}& & \text{(4)}\end{array}$$左端の2点は $B$ または $C$ が原点に来る極限なので含まれず、
右端 $(1+a,0)$ は $u=v=1$ に対応して含まれる。

$a=1$ のときは$$Y=0,\sqrt{2}<X\leqq 2.$$

$u^2+v^2=2$ と $u,v>0$ を利用して
$u=\sqrt{2}\cos \varphi$、$v=\sqrt{2}\sin \varphi$ とおく。
中点と法線から $A$ を $\varphi$ で媒介表示し、和差の恒等式で
楕円を得る。媒介変数の開区間から端点条件も読み取る。

$$B=(u,u),C=(v,-v)$$とおくと、$BC=2$ から $u^2+v^2=2$ である。また原点が
直線 $BC$ 上にないため $u,v>0$ である。したがって$$u=\sqrt{2}\cos \varphi ,v=\sqrt{2}\sin \varphi ,0<\varphi <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$と表せる。

底辺の中点から原点と反対側へ高さ $a$ だけ進むと$$\begin{array}{cccc}& \begin{array}{rl}{\displaystyle X}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1+a}{\sqrt{2}}}(\cos \varphi +\sin \varphi ),}\\ {\displaystyle Y}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1-a}{\sqrt{2}}}(\cos \varphi -\sin \varphi )\mathrm{.}}\end{array}& & \text{(1)}\end{array}$$$a\mathrm{\ne }1$ のとき、(1) をそれぞれ $1+a$、$1-a$ で割り、
二乗して加えると$${\displaystyle \frac{X^2}{(1+a{)}^2}}+{\displaystyle \frac{Y^2}{(1-a{)}^2}}=1.$$さらに$$1<\cos \varphi +\sin \varphi \leqq \sqrt{2}$$で、等号 $\sqrt{2}$ は $\varphi =\pi \mathrm{/}4$ のときに成り立つ。
よって$${\displaystyle \frac{1+a}{\sqrt{2}}}<X\leqq 1+a\mathrm{.}$$$a=1$ なら (1) から$$Y=0,X=\sqrt{2}(\cos \varphi +\sin \varphi ),$$したがって$$\sqrt{2}<X\leqq 2.$$これが求める図形である。