名古屋大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)

点 $(1,a)$ を通ることから$$\begin{array}{cccc}& -1+p+q=a\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$また $(t,0)$ を通るので$$\begin{array}{cccc}& -t^2+pt+q=0.& & \text{(2)}\end{array}$$$t=1$ なら (2) と (1) が矛盾するから $t\mathrm{\ne }1$。(1)、(2)を解くと$$\begin{array}{cccc}& p={\displaystyle \frac{t^2-a-1}{t-1}},q={\displaystyle \frac{t(a+1-t)}{t-1}}\mathrm{.}& & \text{(3)}\end{array}$$$0<t<1$ では (3) の $q$ が負になる。よって $t>1$。このとき $q\geqq 0$ は $t\leqq a+1$ と同値なので$$1<t\leqq a+1\mathrm{.}$$(2)

区間 $0\leqq x\leqq t$ では放物線が $x$ 軸以上にある。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_0^t(-x^2+px+q)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{t^3}{3}}+{\displaystyle \frac{p{t}^2}{2}}+qt\mathrm{.}}\end{array}$$(3)を代入して整理すると$$S={\displaystyle \frac{t^2(t^2-4t+3+3a)}{6(t-1)}}\mathrm{.}$$(3)$${\displaystyle \frac{dS}{dt}}={\displaystyle \frac{t(t-2)\{(t-1{)}^2+a\}}{2(t-1{)}^2}}\mathrm{.}$$$t>1$、$a>0$ なので、導関数の符号は $t-2$ の符号と一致する。

$0<a<1$ のとき、範囲 $1<t\leqq a+1$ は $t<2$ に含まれる。よって最小は $t=a+1$ で取り、(3)から$$p=a+1,q=0.$$$a\geqq 1$ のときは $t=2$ が範囲に入り、そこで最小となる。このとき$$p=3-a,q=2a-2.$$したがって求める放物線は$$\{\begin{array}{ll}y=-x^2+(a+1)x& (0<a<1),\\ y=-x^2+(3-a)x+2a-2& (a\geqq 1)\mathrm{.}\end{array}$$$a=1$ では両方とも $y=-x^2+2x$ になる。

もう1つの $x$ 切片を $-s$ と置く。$y$ 切片が非負なので $s\geqq 0$ であり、放物線は $y=(t-x)(x+s)$ と書ける。点 $(1,a)$ の条件から $t=1+a\mathrm{/}(1+s)$ とし、面積を $s$ の関数として微分する。

放物線の正の $x$ 切片を $t$、もう1つの切片を $-s$ とする。最高次係数が $-1$ なので$$y=(t-x)(x+s)$$と書ける。$y$ 切片は $st\geqq 0$、かつ $t>0$ だから$$s\geqq 0.$$(1)

点 $(1,a)$ を通る条件は$$a=(t-1)(1+s)\mathrm{.}$$したがって$$t=1+{\displaystyle \frac{a}{1+s}}\mathrm{.}$$$s\geqq 0$ を動かすと$$1<t\leqq a+1\mathrm{.}$$(2)$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_0^t(t-x)(x+s)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{t^3}{6}}+{\displaystyle \frac{s{t}^2}{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$$s=a\mathrm{/}(t-1)-1$ を代入すれば$$S={\displaystyle \frac{t^2(t^2-4t+3+3a)}{6(t-1)}}$$を得る。

(3)

今度は $t=1+a\mathrm{/}(1+s)$ を上の面積式へ代入する。$$S(s)={\displaystyle \frac{(a+s+1{)}^2(a+3s^2+4s+1)}{6(s+1{)}^3}}\mathrm{.}$$微分して因数分解すると$${\displaystyle \frac{dS}{ds}}={\displaystyle \frac{(s+1-a)(a+s+1)\{a+(s+1{)}^2\}}{2(s+1{)}^4}}\mathrm{.}$$後ろの因子はすべて正なので、符号は $s+1-a$ で決まる。

$0<a<1$ では $s\geqq 0$ で常に増加し、最小は $s=0$。よって $t=a+1$ で$$y=-x^2+(a+1)x\mathrm{.}$$$a\geqq 1$ では最小は $s=a-1$。このとき $t=2$ だから$$y=(2-x)(x+a-1)=-x^2+(3-a)x+2a-2.$$したがって解法1と同じ場合分けを得る。