名古屋大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)
放物線 $y=x^2$ の $x=u$ における接線は $y=2ux-u^2$ である。この接線が点 $A(a,b)$ を通る条件は $b=2au-u^2$ であり、整理すると $u^2-2au+b=0$ である。条件 $a^2>b$ より、この2次方程式は異なる2つの実数解を持つ。その解は $$u=a\pm \sqrt{a^2-b}$$ である。

ここで $D=a^2-b>0$ とおく。接点 $P,Q$ の $x$ 座標は $a-\sqrt{D}$、$a+\sqrt{D}$ である。2点を結ぶ弦の方程式は、放物線上の2点 $x=u_1,u_2$ を結ぶ弦が $y=(u_1+u_2)x-u_1{u}_2$ であることから $y=2ax-b$ である。

弧 $PQ$ 上の点を $R=(x,x^2)$ とおく。ただし $$a-\sqrt{D}\leqq x\leqq a+\sqrt{D}$$ である。弦と放物線の縦の差は $(2ax-b)-x^2=D-(x-a{)}^2$ である。三角形 $PQR$ の底辺 $PQ$ は固定されているので、面積を最大にするには、$R$ から直線 $PQ$ までの距離を最大にすればよい。この距離は上の縦の差を $\sqrt{1+4a^2}$ で割ったものなので、最大となるのは $x=a$ のときである。

したがって $R=(a,a^2)$ である。

(2)
接点の $x$ 座標の差は $2\sqrt{D}$ であり、弦 $PQ$ の傾きは $2a$ である。よって底辺の長さは $$\mathrm{\mid }PQ\mathrm{\mid }=2\sqrt{D}\sqrt{1+4a^2}$$ である。

また、$R=(a,a^2)$ における弦と放物線の縦の差は $(2a^2-b)-a^2=a^2-b=D$ である。したがって $R$ から直線 $PQ$ までの距離は ${\displaystyle \frac{D}{\sqrt{1+4a^2}}}$ である。ゆえに$$S={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 2\sqrt{D}\sqrt{1+4a^2}\cdot {\displaystyle \frac{D}{\sqrt{1+4a^2}}}=D^{3\mathrm{/}2}$$となる。すなわち $S=(a^2-b{)}^{3\mathrm{/}2}$ である。

$X=x-a$、$Y=y-(2ax-b)$ とおき、弦を水平にする。これは平行移動とせん断なので面積を保つ。移った放物線の頂点が最大の高さを与え、底辺と高さを直接読める。

(1) $$D=a^2-b>0$$とおく。接点の $x$ 座標は、接線条件$$u^2-2au+b=0$$の2根だから$$a-\sqrt{D},a+\sqrt{D}\mathrm{.}$$また弦 $PQ$ は$$y=2ax-b$$である。

ここで$$X=x-a,Y=y-(2ax-b)$$と座標を取り替える。平行移動と、各縦線上で同じ量だけずらすせん断の組合せなので、
三角形の面積は変わらない。

弦 $PQ$ は $Y=0$ へ移る。放物線は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle Y}& {\displaystyle =x^2-(2ax-b)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(x-a{)}^2-(a^2-b)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =X^2-D}\end{array}$$へ移る。したがって接点は$$(-\sqrt{D},0),(\sqrt{D},0)$$であり、弧上で $Y=0$ から最も離れる点は頂点$$(X,Y)=(0,-D)$$である。元の座標へ戻すと$$R=(a,a^2)\mathrm{.}$$(2)
移った三角形の底辺は $2\sqrt{D}$、高さは $D$ だから$$S={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 2\sqrt{D}\cdot D=D^{3\mathrm{/}2}\mathrm{.}$$よって$$S=(a^2-b{)}^{3\mathrm{/}2}\mathrm{.}$$