名古屋大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

正方形を$$0\leqq x\leqq l,0\leqq y\leqq l$$とおき、$M=(x,y)$とする。$2a<l$なので、長さ$2a$の線分が向かい合う2辺と交わることはない。したがって交わる2辺は必ず隣り合う。

左辺$x=0$と下辺$y=0$に交わる場合を考える。線分の一方向を$$(\cos \theta ,-\sin \theta )(0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$$とする。下辺までの距離は$${\displaystyle \frac{y}{\sin \theta }},$$反対方向に進んだときの左辺までの距離は$${\displaystyle \frac{x}{\cos \theta }}$$である。中点から線分の各端までの距離は$a$だから、両方の辺と交わるための条件は$${\displaystyle \frac{x}{\cos \theta }}\leqq a,{\displaystyle \frac{y}{\sin \theta }}\leqq a$$となる$\theta$が存在することである。これは$$\cos \theta \geqq {\displaystyle \frac{x}{a}},\sin \theta \geqq {\displaystyle \frac{y}{a}}$$と同値であり、その必要十分条件は$$x^2+y^2\leqq a^2\mathrm{.}$$他の3頂点についても同様である。よって求める範囲は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle x^2+y^2}& {\displaystyle \leqq a^2,}\\ {\displaystyle (l-x{)}^2+y^2}& {\displaystyle \leqq a^2,}\\ {\displaystyle x^2+(l-y{)}^2}& {\displaystyle \leqq a^2,}\\ {\displaystyle (l-x{)}^2+(l-y{)}^2}& {\displaystyle \leqq a^2}\end{array}$$のいずれかを満たす正方形内部の点である。すなわち四隅を中心とする半径$a$の四分円板である。円弧は含み、正方形の辺は$M$が内部という条件により除く。

三角関数を使わず、線分の単位方向ベクトルを$(p,-q)$とおく。左辺・下辺までの到達条件から$x\leqq ap$，$y\leqq aq$を得て距離$OM$を評価し、逆向きも構成して必要十分性を示す。

左下の頂点を$O$、$M=(x,y)$とする。線分の単位方向ベクトルを$$\mathit{e}=(p,-q),p>0,q>0,p^2+q^2=1$$とおく。下辺に向かう距離は$y\mathrm{/}q$、反対方向に左辺へ向かう距離は$x\mathrm{/}p$である。両距離が$a$以下なら$$x\leqq ap,y\leqq aq$$だから$$O{M}^2=x^2+y^2\leqq a^2(p^2+q^2)=a^2\mathrm{.}$$よって$OM\leqq a$は必要である。

逆に$OM=\rho \leqq a$とする。$\rho >0$なので$$p={\displaystyle \frac{x}{\rho }},q={\displaystyle \frac{y}{\rho }}$$と選べば$p^2+q^2=1$であり、$${\displaystyle \frac{x}{p}}={\displaystyle \frac{y}{q}}=\rho \leqq a\mathrm{.}$$したがって方向$(p,-q)$の線分は左辺と下辺の両方に届く。これで$$OM\leqq a$$が必要十分であることが分かった。4頂点へ同じ議論を適用すれば、解法1の四分円板を得る。