名古屋大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

3次関数を$$f(x)=A{x}^3+B{x}^2+Cx+D(A\mathrm{\ne }0)$$とおく。$f(0)=f^{\mathrm{\prime }}(0)=0$から$$C=D=0$$である。また$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3A{x}^2+2Bx$$であり、$f^{\mathrm{\prime }}(2)=0$から$$12A+4B=0,B=-3A\mathrm{.}$$したがって$$f(x)=A{x}^2(x-3),f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6A(x-1)\mathrm{.}$$$x=0,2$のいずれでも$\mid x-1\mid =1$だから、仮定より$$6\mid A\mid \leqq 1.$$一方、$$f(2)=8A-12A=-4A\mathrm{.}$$よって$$\mid f(2)\mid =4\mid A\mid \leqq 4\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{2}{3}}\mathrm{.}$$これで示された。なお$A=\pm 1\mathrm{/}6$で等号が成立するので、定数$2\mathrm{/}3$は最良である。

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$が1次関数であることと、$f^{\mathrm{\prime }}(2)-f^{\mathrm{\prime }}(0)$が$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$の定積分であることを使う。$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$のグラフが$x=1$を中心とする直線になることを示し、2回積分して評価する。

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=px+q$とおく。条件$f^{\mathrm{\prime }}(0)=f^{\mathrm{\prime }}(2)=0$より$$0=f^{\mathrm{\prime }}(2)-f^{\mathrm{\prime }}(0)={\int }_0^2{f}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)dx=2p+2q\mathrm{.}$$したがって$q=-p$であり、$$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=p(x-1)\mathrm{.}$$区間$0\leqq x\leqq 2$の端点で$\mid x-1\mid =1$だから$$\mid p\mid \leqq 1.$$$f^{\mathrm{\prime }}(0)=0$を使って積分すると$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=p({\displaystyle \frac{x^2}{2}}-x)\mathrm{.}$$さらに$f(0)=0$を使えば$$f(x)=p({\displaystyle \frac{x^3}{6}}-{\displaystyle \frac{x^2}{2}})\mathrm{.}$$ゆえに$$f(2)=-{\displaystyle \frac{2p}{3}},\mid f(2)\mid ={\displaystyle \frac{2}{3}}\mid p\mid \leqq {\displaystyle \frac{2}{3}}\mathrm{.}$$