名古屋大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

$$A=(-2,0,1),B=(r\cos \theta ,r\sin \theta ,-1)$$とおき、$$\mathit{d}=\overrightarrow{AB}=(r\cos \theta +2,r\sin \theta ,-2)$$とする。原点から直線$AB$までの距離の2乗は$$\mid A{\mid }^2-{\displaystyle \frac{(A\cdot \mathit{d}{)}^2}{\mid \mathit{d}{\mid }^2}}$$である。ここで$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mid A{\mid }^2}& {\displaystyle =5,}\\ {\displaystyle A\cdot \mathit{d}}& {\displaystyle =-2r\cos \theta -6,}\\ {\displaystyle \mid \mathit{d}{\mid }^2}& {\displaystyle =r^2+4r\cos \theta +8.}\end{array}$$接する条件は距離が1となることだから$$5-{\displaystyle \frac{(-2r\cos \theta -6{)}^2}{r^2+4r\cos \theta +8}}=1.$$整理すると$$r^2{\sin }^2\theta -2r\cos \theta -1=0.$$$\sin \theta \mathrm{\ne }0$なら$$r={\displaystyle \frac{\cos \theta \pm 1}{{\sin }^2\theta }}\mathrm{.}$$$r>0$となる方を選ぶと$$r={\displaystyle \frac{1+\cos \theta }{{\sin }^2\theta }}={\displaystyle \frac{1}{1-\cos \theta }}\mathrm{.}$$$\cos \theta =-1$では元の2次方程式から$r=1\mathrm{/}2$で、上式と一致する。$\cos \theta =1$では$-2r-1=0$となり正の解はない。

よって$$r={\displaystyle \frac{1}{1-\cos \theta }}(\cos \theta \mathrm{\ne }1)$$であり、$\cos \theta =1$のとき条件を満たす$r>0$は存在しない。

直線上の点$A+t\mathit{d}$を球面の式へ代入する。接線なら交点を与える2次方程式が重解をもつので、判別式を0とおいて解く。

直線上の点は$$X(t)=A+t\mathit{d}$$と表せる。球面との交点は$$\mid A+t\mathit{d}{\mid }^2=1$$の解であり、展開すると$$\mid \mathit{d}{\mid }^2{t}^2+2(A\cdot \mathit{d})t+(\mid A{\mid }^2-1)=0.$$接線であるための必要十分条件はこの2次方程式が重解をもつことである。よって判別式を0とすると$$(A\cdot \mathit{d}{)}^2=\mid \mathit{d}{\mid }^2(\mid A{\mid }^2-1)=4\mid \mathit{d}{\mid }^2\mathrm{.}$$各内積を代入すれば$$4(r\cos \theta +3{)}^2=4(r^2+4r\cos \theta +8),$$すなわち$$r^2{\sin }^2\theta -2r\cos \theta -1=0.$$以後は解法1と同じ符号判定により$$r={\displaystyle \frac{1}{1-\cos \theta }}(\cos \theta \mathrm{\ne }1)$$を得る。