名古屋大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1) $c=a^{1\mathrm{/}n}$とおくと$0<c<1$であり、$$x^{n+1}-ax=x(x^n-a)$$は$x=c$で符号を変える。したがって$$S_n(a)={\int }_0^c(ax-x^{n+1})dx+{\int }_c^1(x^{n+1}-ax)dx\mathrm{.}$$$x=c$では各被積分関数が0になるため、境界の移動による項は消える。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_n^{\mathrm{\prime }}(a)}& {\displaystyle ={\int }_0^{c}xdx-{\int }_c^{1}xdx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =c^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$$c=a^{1\mathrm{/}n}$は$a$とともに増加するので、$S_n^{\mathrm{\prime }}(a)$は$$c<{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$$で負、その後は正である。ゆえに$$c={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},a_n=c^n=2^{-n\mathrm{/}2}\mathrm{.}$$(2) 上の分割積分を計算すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_n(a_n)=}& {\displaystyle {\displaystyle \frac{c^{n+2}}{2}}-{\displaystyle \frac{c^{n+2}}{n+2}}+{\displaystyle \frac{1-c^{n+2}}{n+2}}-{\displaystyle \frac{c^n(1-c^2)}{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$$c^2=1\mathrm{/}2$より第1項と第4項が消し合い、$$S_n(a_n)={\displaystyle \frac{1-2c^{n+2}}{n+2}}={\displaystyle \frac{1-2^{-n\mathrm{/}2}}{n+2}}\mathrm{.}$$したがって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }n{S}_n(a_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{n}{n+2}}(1-2^{-n\mathrm{/}2})=1.$$

符号変化点$c$を新しい変数とし、$a=c^n$を積分後に代入する。$S_n$を$c$の関数として直接微分し、因数分解された導関数から最小点を決める。

(1) $a=c^n(0<c<1)$とおく。絶対値を$x=c$で分けて先に積分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_n(c^n)}& {\displaystyle ={\int }_0^c(c^{n}x-x^{n+1})dx+{\int }_c^1(x^{n+1}-c^{n}x)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1-2c^{n+2}}{n+2}}+c^n(c^2-{\displaystyle \frac{1}{2}})\mathrm{.}}\end{array}$$これを$c$で微分する。第1項から出る項と第2項の一部が消え、$${\displaystyle \frac{d}{dc}}{S}_n(c^n)=n{c}^{n-1}(c^2-{\displaystyle \frac{1}{2}})\mathrm{.}$$$n>0,c>0$だから、これは$$0<c<{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$$で負、$${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}<c<1$$で正である。したがって唯一の最小点は$$c={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$$であり、$$a_n=2^{-n\mathrm{/}2}\mathrm{.}$$(2) この値を積分後の式へ代入すると$$S_n(a_n)={\displaystyle \frac{1-2^{-n\mathrm{/}2}}{n+2}},$$ゆえに求める極限は$${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }n{S}_n(a_n)=1.}$$