名古屋大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1)
まず二乗を展開する。 $$(x^2+ax+b{)}^2=x^4+2a{x}^3+(a^2+2b)x^2+2abx+b^2$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(a,b)}& {\displaystyle ={\int }_0^1\{x^4+2a{x}^3+(a^2+2b)x^2+2abx+b^2\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{5}}+{\displaystyle \frac{a}{2}}+{\displaystyle \frac{a^2+2b}{3}}+ab+b^2\mathrm{.}}\end{array}$$よって $$f(a,b)=b^2+ab+{\displaystyle \frac{a^2}{3}}+{\displaystyle \frac{2b}{3}}+{\displaystyle \frac{a}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{5}}$$ である。

(2) $A=a+1$、$B=b-{\displaystyle \frac{1}{6}}$ とおく。すなわち $a=A-1$、$b=B+{\displaystyle \frac{1}{6}}$ として(1)の式へ代入すると $$f(a,b)={\displaystyle \frac{1}{180}}+{\displaystyle \frac{A^2}{3}}+AB+B^2$$ となる。さらに $${\displaystyle \frac{A^2}{3}}+AB+B^2={\displaystyle \frac{1}{3}}{(A+{\displaystyle \frac{3}{2}}B)}^2+{\displaystyle \frac{1}{4}}{B}^2$$ である。右辺の平方の項はいずれも0以上なので $f(a,b)\geqq {\displaystyle \frac{1}{180}}$ である。

等号が成り立つには $$B=0,A+{\displaystyle \frac{3}{2}}B=0$$ が必要十分である。よって $A=0$、$B=0$、すなわち $a=-1,b={\displaystyle \frac{1}{6}}$ である。したがって最小値は ${\displaystyle \frac{1}{180}}$ で、それを与える値は $a=-1,b={\displaystyle \frac{1}{6}}$ である。

最小点で残る2次式を $r(x)=x^2-x+1\mathrm{/}6$ とおく。$${\int }_0^{1}r(x)dx={\int }_0^{1}xr(x)dx=0$$を直接確かめ、交差項が消える形に平方の積分を分ける。

(1)

展開して項別に積分すると$$f(a,b)=b^2+ab+{\displaystyle \frac{a^2}{3}}+{\displaystyle \frac{2b}{3}}+{\displaystyle \frac{a}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{5}}\mathrm{.}$$(2)$$r(x)=x^2-x+{\displaystyle \frac{1}{6}}$$とおく。直接計算により$${\int }_0^{1}r(x)dx=0,{\int }_0^{1}xr(x)dx=0,{\int }_0^{1}r(x{)}^{2}dx={\displaystyle \frac{1}{180}}\mathrm{.}$$$A=a+1,B=b-1\mathrm{/}6$ とおけば$$x^2+ax+b=r(x)+Ax+B\mathrm{.}$$交差項の積分は上の2式により0だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(a,b)}& {\displaystyle ={\int }_0^{1}r(x{)}^{2}dx+{\int }_0^1(Ax+B{)}^{2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{180}}+{\int }_0^1(Ax+B{)}^{2}dx\geqq {\displaystyle \frac{1}{180}}\mathrm{.}}\end{array}$$等号は $Ax+B$ が恒等的に0、すなわち $A=B=0$ のときに限る。
よって最小値は$${\displaystyle \frac{1}{180}}$$であり、そのとき$$a=-1,b={\displaystyle \frac{1}{6}}\mathrm{.}$$