名古屋大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

直線 $l$ を $y=mx+a$ とおく。$l$ と放物線 $y=3x^2$ の交点の $x$ 座標は $3x^2-mx-a=0$ の2解である。$a>0$ だから，判別式 $D=m^2+12a$ は正であり，2交点は常に相異なる。

この2解を $\alpha <\beta$ とする。解の差は $$\beta -\alpha ={\displaystyle \frac{\sqrt{D}}{3}}$$ である。また $$mx+a-3x^2=-3(x-\alpha )(x-\beta )=3(x-\alpha )(\beta -x)$$ なので，囲まれる図形の面積 $S$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_{\alpha }^{\beta }3(x-\alpha )(\beta -x)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3{\int }_0^{\beta -\alpha }u\{(\beta -\alpha )-u\}du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{3}{6}}(\beta -\alpha {)}^3={\displaystyle \frac{D^{3\mathrm{/}2}}{54}}}\end{array}$$である。

ここで $m$ を動かすと，$D=m^2+12a$ の最小値は $m=0$ のときの $12a$ である。したがって，条件を満たす直線が存在するための必要十分条件は ${\displaystyle \frac{(12a{)}^{3\mathrm{/}2}}{54}}\leqq 4$ である。これを解くと $(12a{)}^{3\mathrm{/}2}\leqq 216=6^3$ より $12a\leqq 36$ すなわち $a\leqq 3$ である。 $a>0$ は問題の仮定であり，$0<a\leqq 3$ のときは $m=0$ とすれば面積が4以下になる。よって求める範囲は $0<a\leqq 3$ である。

直線と放物線の差を平方完成し、囲まれた部分を左右対称な放物線弓形として積分する。傾き $m$ の影響は弓形の高さ $h=a+m^2\mathrm{/}12$ にだけ現れるため、存在条件は $h$ の最小値 $a$ から直接判定できる。

直線を $y=mx+a$ とする。直線と放物線の上下の差を平方完成すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle mx+a-3x^2}& {\displaystyle =a+{\displaystyle \frac{m^2}{12}}-3{(x-{\displaystyle \frac{m}{6}})}^2\mathrm{.}}\end{array}$$ここで$$h=a+{\displaystyle \frac{m^2}{12}},u=x-{\displaystyle \frac{m}{6}}$$とおけば、囲まれた部分では$$-\sqrt{{\displaystyle \frac{h}{3}}}\leqq u\leqq \sqrt{{\displaystyle \frac{h}{3}}}$$であり、面積 $S$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_{-\sqrt{h\mathrm{/}3}}^{\sqrt{h\mathrm{/}3}}(h-3u^2)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4{\left({\displaystyle \frac{h}{3}}\right)}^{3\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{4h^{3\mathrm{/}2}}{3\sqrt{3}}}\mathrm{.}}\end{array}$$固定した $a$ に対し $h=a+m^2\mathrm{/}12\geqq a$ だから、面積が最小になるのは $m=0$ のときである。したがって、面積が $4$ 以下となる直線が存在するための必要十分条件は$${\displaystyle \frac{4a^{3\mathrm{/}2}}{3\sqrt{3}}}\leqq 4.$$これは $a\leqq 3$ と同値である。仮定 $a>0$ と合わせると$$0<a\leqq 3$$である。