名古屋大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

$0<x<\pi \mathrm{/}4$ では $\sin 2x>0$ である。したがって $\sin 3x+t\sin 2x>0$ は $$t>-{\displaystyle \frac{\sin 3x}{\sin 2x}}$$ と同値である。よって，すべての $x$ に対してこの不等式が成り立つように，右辺の上限を調べればよい。

まず$${\displaystyle \frac{\sin 3x}{\sin 2x}}={\displaystyle \frac{\sin x(3-4{\sin }^{2}x)}{2\sin x\cos x}}={\displaystyle \frac{4{\cos }^{2}x-1}{2\cos x}}=2\cos x-{\displaystyle \frac{1}{2\cos x}}$$である。$u=\cos x$ とおくと，$0<x<\pi \mathrm{/}4$ より $${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}<u<1$$ である。また $$\varphi (u)=2u-{\displaystyle \frac{1}{2u}}$$ とおけば $${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(u)=2+{\displaystyle \frac{1}{2u^2}}>0$$ であるから，$\varphi (u)$ は $u$ の増加関数である。したがって$${\displaystyle \frac{\sin 3x}{\sin 2x}}=\varphi (u)>\varphi \left({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\right)={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$$である。ここで $x=\pi \mathrm{/}4$ は区間に含まれないため，等号は起こらない。

よってすべての $x$ について $$-{\displaystyle \frac{\sin 3x}{\sin 2x}}<-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$$ である。したがって $$t\geqq -{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$$ ならば，すべての $x$ について $$t>-{\displaystyle \frac{\sin 3x}{\sin 2x}}$$ が成り立つ。

逆に，もし $$t<-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$$ なら，$-t>\sqrt{2}\mathrm{/}2$ である。$x$ を $\pi \mathrm{/}4$ に十分近い値として $0<x<\pi \mathrm{/}4$ の範囲で選べば $${\displaystyle \frac{\sin 3x}{\sin 2x}}<-t$$ となり，すなわち $\sin 3x+t\sin 2x<0$ となって条件に反する。

以上より，求める範囲は $$t\geqq -{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$$ である。

境界値を与える比の変化

不等式を $\sin 2x>0$ で割り、比 $g(x)=\sin 3x\mathrm{/}\sin 2x$ を $x$ のまま微分する。
開区間の右端でのみ近づく下限を使い、境界値が許される理由も確認する。

$0<x<\pi \mathrm{/}4$ では $\sin 2x>0$ だから、条件は$$t>-{\displaystyle \frac{\sin 3x}{\sin 2x}}$$と同値である。ここで$$g(x)={\displaystyle \frac{\sin 3x}{\sin 2x}}=2\cos x-{\displaystyle \frac{1}{2\cos x}}$$とおく。微分すると$$g^{\mathrm{\prime }}(x)=-\sin x(2+{\displaystyle \frac{1}{2{\cos }^{2}x}})<0$$なので、$g$ は区間内で単調減少する。したがって$$g(x)>\underset{x\to \pi \mathrm{/}4-0}{\lim }g(x)={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\mathrm{.}$$よって$$-g(x)<-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$$であり、$t=-\sqrt{2}\mathrm{/}2$ でも元の不等式は真に正となる。

一方、$t<-\sqrt{2}\mathrm{/}2$ なら、$x$ を $\pi \mathrm{/}4$ に十分近づけることで
$t\leqq -g(x)$ となる $x$ を選べ、条件に反する。以上より$$t\geqq -{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$$である。