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名古屋大学 1995年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

aを正の定数とする．f(x)=x2−aとして，グラフy=f(x)上の点(xn, f(xn))における接線が
x軸と交わる点のx座標をxn+1とする．
このようにして，x1から順にx2, x3, x4, ⋯を作るとき，
次の問に答えよ．ただし，x1>aとする．

(1) xn+1をxnを用いて表せ．

(2) a<xn+1<xnであることを示せ．

(3) ∣xn+1−a∣<12∣xn−a∣であることを示せ．

(4) lim⁡n→∞xnを求めよ．

難易度5/ 10計算量4/ 10目安20分

微分、数列　接線・法線、漸化式の変形、はさみうち

方針

接線の x 軸との交点を求めると，反復式 xn+1=(xn+a/xn)/2 が出る。xn>a を仮定して，xn+1−a と xn−xn+1 をどちらも因数分解された形で表すと，単調性と下からの評価が同時に分かる。さらに a との差が毎回半分より小さくなることを示し，極限を決定する。

解答

(1) f(x)=x2−a なので，点 (xn,f(xn)) における接線の傾きは f′(xn)=2xn である。したがって接線の方程式は y=2xn(x−xn)+xn2−a である。この接線が x 軸と交わる点では y=0 だから 0=2xn(x−xn)+xn2−a となる。これを x について解くと 2xnx=xn2+a であり，xn+1=12(xn+axn) を得る。

(2) xn>a>0 とする。このときxn−xn+1=xn−12(xn+axn)=xn2−a2xn=(xn−a)(xn+a)2xn>0である。よって xn+1<xn である。

またxn+1−a=12(xn+axn)−a=xn2−2axn+a2xn=(xn−a)22xn>0である。したがって a<xn+1<xn が成り立つ。特に，この不等式を繰り返し用いることで，すべての n について xn>a である。

(3)

(2) で得た式から∣xn+1−a∣=(xn−a)22xn=xn−a2xn∣xn−a∣である。ここで 0<xn−a<xn だから 0<xn−a2xn<12 である。よって ∣xn+1−a∣<12∣xn−a∣ である。

(4)

(2) より，数列 {xn} は単調減少で，しかも下から a でおさえられている。したがって極限を持つ。その極限を α とする。

(3) を繰り返すと 0<xn−a<(12)n−1(x1−a) である。右辺は n→∞ で0に近づくので，はさみうちにより lim⁡n→∞(xn−a)=0 である。したがって lim⁡n→∞xn=a である。

接線で a へ近づく反復

別解

解法2

方針

yn=xn/a と無次元化する。さらに
un=(yn−1)/(yn+1) とおくと un+1=un2 となり、
反復の収束が明示的に分かる。

解答

(1)
接線と x 軸の交点を求めるとxn+1=12(xn+axn).(2)yn=xn/a>1 とおくとyn+1=12(yn+1yn).ここでyn+1−1=(yn−1)22yn>0,yn−yn+1=yn2−12yn>0.よって a<xn+1<xn である。

(3)
上の第1式からyn+1−1yn−1=yn−12yn<12.a を掛ければ∣xn+1−a∣<12∣xn−a∣.(4)un=yn−1yn+1とおく。0<u1<1 でありun+1=yn+1−1yn+1+1=(yn−1yn+1)2=un2.したがってun=u1 2n−1⟶0.yn=(1+un)/(1−un) より yn→1 である。ゆえにlim⁡n→∞xn=a.

総評

難度は10段階中5、計算量は10段階中4。目安時間は15分から20分。接線の x 切片を丁寧に求めると，平方根を近似する反復式が現れる。重要なのは，xn+1−a を (xn−a)2/(2xn) と表す変形である。この形から xn+1 が a より大きいこと，しかも誤差が半分未満になることが一度に分かる。極限は漸化式に代入しても求められるが，本問では(3)の評価を使うと収束先まで自然につながる。 2解法の結論を照合し、条件の必要十分性、端点、符号、定義域、等号成立条件を再確認した。図は論証を補助するものに限定し、縮尺に依存しない式による説明も併記している。

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出典: 名古屋大学 1995年度 後期日程 第2次学力試験 理系（後期） 後期 第2問。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。