名古屋大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験 整数・指数・対数理系数学 第4問(a)

$X=\log x$, $Y=\log y$, $Z=\log z$ とおく。また、共通の値 $x^a=y^b=z^c=xyz$ の対数を $S$ とおく。すると $aX=bY=cZ=S$ であり、さらに $X+Y+Z=\log (xyz)=S$ である。

もし $S=0$ なら、$aX=bY=cZ=0$ である。$a,b,c$ は正の整数だから $X=Y=Z=0$ となり、$x=y=z=1$ となる。これは条件に反する。したがって $S\mathrm{\ne }0$ である。 $aX=bY=cZ=S$ より $$X={\displaystyle \frac{S}{a}},Y={\displaystyle \frac{S}{b}},Z={\displaystyle \frac{S}{c}}$$ である。これを $X+Y+Z=S$ に代入すると、$S\mathrm{\ne }0$ だから $${\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}+{\displaystyle \frac{1}{c}}=1$$ を得る。

逆に、正の整数 $(a,b,c)$ が $${\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}+{\displaystyle \frac{1}{c}}=1$$ を満たすとする。任意の $S\mathrm{\ne }0$ を取り、$$x=e^{S\mathrm{/}a},y=e^{S\mathrm{/}b},z=e^{S\mathrm{/}c}$$ とおけば、$x,y,z$ は正で、しかも1ではない。また $x^a=y^b=z^c=e^S$ であり、$$xyz=e^{S(1\mathrm{/}a+1\mathrm{/}b+1\mathrm{/}c)}=e^S$$ だから、条件を満たす。よって求める問題は $${\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}+{\displaystyle \frac{1}{c}}=1,a\le b\le c$$ の正の整数解を求めることに帰着する。 $a=1$ なら左辺は1より大きくなるので不可能である。また $a\ge 4$ なら $${\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}+{\displaystyle \frac{1}{c}}\le {\displaystyle \frac{3}{a}}\le {\displaystyle \frac{3}{4}}<1$$ となり不可能である。したがって $$a=2\text{または}a=3$$ である。 $a=2$ のとき、$${\displaystyle \frac{1}{b}}+{\displaystyle \frac{1}{c}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。両辺に $2bc$ を掛けると $2b+2c=bc$ すなわち $(b-2)(c-2)=4$ である。$b\le c$ より $(b-2,c-2)=(1,4),(2,2)$ であり、$(b,c)=(3,6),(4,4)$ を得る。 $a=3$ のとき、$${\displaystyle \frac{1}{b}}+{\displaystyle \frac{1}{c}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$$ である。$b\ge 3$ であるから、$b=3$ なら $c=3$ となる。$b\ge 4$ なら $c\ge b\ge 4$ なので $${\displaystyle \frac{1}{b}}+{\displaystyle \frac{1}{c}}\le {\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{1}{2}}<{\displaystyle \frac{2}{3}}$$ となり不可能である。よって $a=3$ では $(b,c)=(3,3)$ のみである。

以上より $$(a,b,c)=(2,3,6),(2,4,4),(3,3,3)$$ である。

最小の指数 $a$ を評価して候補を $2,3$ に絞り、各場合を因数分解で列挙する。最後に、得た指数組から実数解を実際に構成して十分性も確認する。

正の実数なので $X=\log x$, $Y=\log y$, $Z=\log z$ とおける。共通値の対数を $S$ とすると$$aX=bY=cZ=X+Y+Z=S\mathrm{.}$$組が $(1,1,1)$ と異なるため $S\mathrm{\ne }0$ であり$${\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}+{\displaystyle \frac{1}{c}}=1.$$$a\leqq b\leqq c$ より $1\leqq 3\mathrm{/}a$ だから $a\leqq 3$、また $a=1$ は不可能である。

$a=2$ なら$${\displaystyle \frac{1}{b}}+{\displaystyle \frac{1}{c}}={\displaystyle \frac{1}{2}},(b-2)(c-2)=4.$$$b\leqq c$ から $(b,c)=(3,6),(4,4)$ である。

$a=3$ なら $b,c\geqq 3$ で、和が1になるには $b=c=3$ しかない。

逆に各組について、任意の $S\mathrm{\ne }0$ に対し$$x=e^{S\mathrm{/}a},y=e^{S\mathrm{/}b},z=e^{S\mathrm{/}c}$$とおけば条件を満たす。したがって$$(a,b,c)=(2,3,6),(2,4,4),(3,3,3)\mathrm{.}$$