名古屋大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1) $n=4$ のとき $$m(k_1,k_2,k_3,k_4)=2^{k_4}\{2^{k_1+k_2+k_3}-2^{k_2+k_3}-2^{k_3}-1\}$$ である。括弧の中は「偶数 $-$ 偶数 $-$ 偶数 $-1$」なので奇数である。$1999$ は奇数だから、$2^{k_4}$ の部分は $1$ でなければならず、$k_4=0$ である。

したがって $$2^{k_1+k_2+k_3}-2^{k_2+k_3}-2^{k_3}-1=1999$$ であり、移項して $$2^{k_3}(2^{k_1+k_2}-2^{k_2}-1)=2000$$ となる。ここで括弧内は奇数である。一方 $2000=2^4\cdot 125$ だから $k_3=4$ であり、奇数部分について $$2^{k_1+k_2}-2^{k_2}-1=125$$ すなわち $2^{k_2}(2^{k_1}-1)=126$ である。$2^{k_1}-1$ は奇数で、$126=2\cdot 63$ だから $k_2=1,$ $2^{k_1}-1=63$ となる。よって $k_1=6$ である。したがって $$(k_1,k_2,k_3,k_4)=(6,1,4,0)$$ である。

(2) $n=2$ のとき $$m(k_1,k_2)=2^{k_1+k_2}-2^{k_2}=2^{k_2}(2^{k_1}-1)$$ である。ここで $2^{k_1}-1$ は奇数である。したがって $m(k_1,k_2)$ を2で割れるだけ割った回数、すなわち2の累乗部分から $k_2$ が一意に決まる。 $k_2$ が決まれば、奇数部分 $2^{k_1}-1$ も一意に決まる。関数 $k_1\mapsto 2^{k_1}-1$ は自然数 $k_1$ に対して単調に増加するので、$k_1$ も一意に決まる。よって $m(k_1,k_2)=m(l_1,l_2)$ ならば $k_1=l_1,k_2=l_2$ である。

(3) $n\geqq 3$ とする。定義式から末尾の $2^{k_n}$ をくくると $$m(k_1,k_2,\dots ,k_n)=2^{k_n}\{m(k_1,k_2,\dots ,k_{n-1})-1\}$$ である。ここで、元の条件では $k_{n-1}\geqq 1$ なので、$m(k_1,k_2,\dots ,k_{n-1})$ は偶数である。したがって $m(k_1,k_2,\dots ,k_{n-1})-1$ は奇数である。

同様に $$m(l_1,l_2,\dots ,l_n)=2^{l_n}\{m(l_1,l_2,\dots ,l_{n-1})-1\}$$ で、括弧内は奇数である。いま $$m(k_1,k_2,\dots ,k_n)=m(l_1,l_2,\dots ,l_n)$$ と仮定すると、両辺の2の累乗部分を比べて $k_n=l_n$ が分かる。さらに奇数部分を比べて $$m(k_1,k_2,\dots ,k_{n-1})-1=m(l_1,l_2,\dots ,l_{n-1})-1$$ だから $$m(k_1,k_2,\dots ,k_{n-1})=m(l_1,l_2,\dots ,l_{n-1})$$ である。

この議論を後ろから繰り返すと、$$k_n=l_n,k_{n-1}=l_{n-1},\dots ,k_3=l_3$$ が順に得られ、最後に $m(k_1,k_2)=m(l_1,l_2)$ が残る。これは(2)より $k_1=l_1,k_2=l_2$ を与える。したがって $$k_j=l_j(j=1,2,\dots ,n)$$ である。

与えられた自然数 $m$ から添字を復元する手順を構成する。まず $m$ を2で割れる回数が末尾の $k_n$ であり、奇数部分に1を足すと1段短い $m$ が戻る。この復号操作を繰り返せば、全ての $k_j$ が一意に決まる。

(1)
$1999$ を、2で割れるだけ割った回数と残る奇数部分に分けながら復号する。1999は奇数なので$$k_4=0,m(k_1,k_2,k_3)=2000.$$$2000=2^4\cdot 125$ より$$k_3=4,m(k_1,k_2)=126.$$$126=2\cdot 63$ より$$k_2=1,2^{k_1}-1=63,$$したがって $k_1=6$ である。よって$$(k_1,k_2,k_3,k_4)=(6,1,4,0)\mathrm{.}$$(2)$$m(k_1,k_2)=2^{k_2}(2^{k_1}-1)$$であり、$2^{k_1}-1$ は奇数である。従って、両辺が等しければ2で割れる回数から $k_2=l_2$ が分かり、残る奇数部分から$$2^{k_1}-1=2^{l_1}-1$$となるので $k_1=l_1$ である。

(3)
一般に$$m(k_1,\dots ,k_n)=2^{k_n}\{m(k_1,\dots ,k_{n-1})-1\}$$に注意する。$k_{n-1}\geqq 1$ だから短い方の $m$ は偶数であり、括弧内は奇数である。

従って、与えられた $m$ を2で割れるだけ割った回数は必ず $k_n$ である。奇数部分を $q$ とすれば$$m(k_1,\dots ,k_{n-1})=q+1$$となる。これを繰り返せば、末尾から $k_n,k_{n-1},\dots ,k_3$ が一意に復元され、最後は$$m(k_1,k_2)=2^{k_2}(2^{k_1}-1)$$から、(2)によって $k_2,k_1$ も一意に復元される。同じ値を与える2組にこの操作を並行して施せば$$k_j=l_j(j=1,2,\dots ,n)$$が従う。