名古屋大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)
曲線 $y=\log x$ の導関数は $1\mathrm{/}x$ であるから、点 $P(a,\log a)$ における接線 $l$ は $y-\log a={\displaystyle \frac{1}{a}}(x-a)$ すなわち $$y={\displaystyle \frac{x}{a}}-1+\log a$$ である。この接線が $x$ 軸と交わる点の $x$ 座標は、$y=0$ として $$0={\displaystyle \frac{x}{a}}-1+\log a$$ より $x=a(1-\log a)$ である。

接線と $x$ 軸でできる三角形は、高さ $\log a$、底辺の長さ $a-a(1-\log a)=a\log a$ をもつ。したがってその面積は ${\displaystyle \frac{1}{2}}a(\log a{)}^2$ である。一方、曲線と $x$ 軸、および線分 $PH$ で囲まれた面積は $$S_2={\int }_1^a\log xdx$$ である。部分積分、または $x\log x-x$ を微分して確認することで $$\int \log xdx=x\log x-x$$ だから $$S_2=[x\log x-x{]}_1^a=a\log a-a+1$$ となる。したがって $$S_1={\displaystyle \frac{a(\log a{)}^2}{2}}-(a\log a-a+1)$$ であり、$S_2=a\log a-a+1$ である。

(2) $PH$ は点 $P$ の $y$ 座標に等しいので $PH=\log a$ である。よって$${\displaystyle \frac{S_1}{S_2\cdot PH}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{a(\log a{)}^2}{2}}-a\log a+a-1}{(a\log a-a+1)\log a}}$$である。分子・分母を $a(\log a{)}^2$ で割ると$${\displaystyle \frac{S_1}{S_2\cdot PH}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{\log a}}+{\displaystyle \frac{1}{(\log a{)}^2}}-{\displaystyle \frac{1}{a(\log a{)}^2}}}{1-{\displaystyle \frac{1}{\log a}}+{\displaystyle \frac{1}{a\log a}}}}$$となる。$a\to \mathrm{\infty }$ のとき $\log a\to \mathrm{\infty }$ であるから、右辺は $${\displaystyle \frac{1\mathrm{/}2}{1}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ に近づく。したがって $$\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{S_1}{S_2\cdot PH}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。

接線と曲線の上下関係を図で確認し、$S_1$ を接線の $x$ 軸切片から $x=1$ までの部分と、$x=1$ から $x=a$ までの部分に分けて積分する。この直接表示を整理して $S_1,S_2$ を求め、最高次の $a(\log a{)}^2$ で割って極限を出す。

接線は$$l(x)={\displaystyle \frac{x}{a}}-1+\log a$$であり、その $x$ 軸との交点を $R$ とすると$$x_R=a(1-\log a)\mathrm{.}$$$a>1$ では $x_R<1<a$ である。また $\log x$ は上に凸ではなく上に凹なので、$1<x<a$ では接線が曲線より上にある。

(1)
図形を $x=1$ で分けると$$S_1={\int }_{x_R}^{1}l(x)dx+{\int }_1^a\{l(x)-\log x\}dx\mathrm{.}$$従って$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_1}& {\displaystyle ={\int }_{x_R}^{a}l(x)dx-{\int }_1^a\log xdx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}\{a-x_R\}\log a-\{a\log a-a+1\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a(\log a{)}^2}{2}}-a\log a+a-1.}\end{array}$$また$$S_2={\int }_1^a\log xdx=a\log a-a+1.$$(2)
$PH=\log a$ なので$${\displaystyle \frac{S_1}{S_2\cdot PH}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{\log a}}+{\displaystyle \frac{1}{(\log a{)}^2}}-{\displaystyle \frac{1}{a(\log a{)}^2}}}{1-{\displaystyle \frac{1}{\log a}}+{\displaystyle \frac{1}{a\log a}}}}\mathrm{.}$$$a\to \mathrm{\infty }$ では $1\mathrm{/}\log a\to 0$ だから$$\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{S_1}{S_2\cdot PH}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$