名古屋大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

$\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">1</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}$
曲線と直線の交点は $x^3=tx$ より $x(x^2-t)=0$ である。$x>0$の交点は $$x=\sqrt{t}$$ であるから $$P=(\sqrt{t},t\sqrt{t})$$ である。 $$0\leqq x\leqq \sqrt{t}$$では $tx-x^3=x(t-x^2)\geqq 0$ なので、直線$y=tx$が曲線$y=x^3$の上側にある。したがって囲まれる領域の面積は $${\int }_0^{\sqrt{t}}(tx-x^3)dx$$ である。計算すると$${\int }_0^{\sqrt{t}}(tx-x^3)dx={[{\displaystyle \frac{t}{2}}{x}^2-{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^4]}_0^{\sqrt{t}}={\displaystyle \frac{t^2}{2}}-{\displaystyle \frac{t^2}{4}}={\displaystyle \frac{t^2}{4}}$$である。

$\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">2</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}$ $Q$を $$Q=(x,x^3)(0\leqq x\leqq \sqrt{t})$$ とおく。三角形$OPQ$の面積は、原点を1つの頂点にもつので ${\displaystyle \frac{1}{2}}\mid \sqrt{t}\cdot x^3-t\sqrt{t}\cdot x\mid$ である。$$0\leqq x\leqq \sqrt{t}$$では$tx-x^3\geqq 0$なので $$\mathrm{△}OPQ\text{ の面積}={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{t}x(t-x^2)$$ である。

したがって $f(x)=x(t-x^2)$ を$$0\leqq x\leqq \sqrt{t}$$で最大にすればよい。微分すると $f^{\mathrm{\prime }}(x)=t-3x^2$ であるから、内部の臨界点は $$x=\sqrt{{\displaystyle \frac{t}{3}}}$$ である。端点$$x=0,\sqrt{t}$$では面積は0なので、この点で最大となる。最大面積は$${\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{t}\cdot \sqrt{{\displaystyle \frac{t}{3}}}(t-{\displaystyle \frac{t}{3}})={\displaystyle \frac{t^2}{3\sqrt{3}}}$$である。

交点までの $x$ 座標を $x=\sqrt{t}s$ と無次元化する。三角形の面積は $t^2$ と $s(1-s^2)$ の積になり、$t$ と最大化変数を分離できる。微分を使わず、最大候補 $s=1\mathrm{/}\sqrt{3}$ との差を因数分解して上界を証明する。

$\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">1</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}$
正の交点は$$x^3=tx,x>0$$から $$x=\sqrt{t}$$ である。したがって面積 $S$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_0^{\sqrt{t}}(tx-x^3)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[{\displaystyle \frac{t}{2}}{x}^2-{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^4]}_0^{\sqrt{t}}={\displaystyle \frac{t^2}{4}}\mathrm{.}}\end{array}$$$\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">2</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}$
$Q=(x,x^3)$ とし$$x=\sqrt{t}s(0\leqq s\leqq 1)$$と置く。三角形 $OPQ$ の面積を $T$ とすると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle T}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{t}x(t-x^2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{t^2}{2}}s(1-s^2)\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $0\leqq s\leqq 1$ に対して$${\displaystyle \frac{2}{3\sqrt{3}}}-s(1-s^2)={(s-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}})}^2(s+{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}})$$と因数分解できる。右辺は $0$ 以上であり、等号は$$s={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$$のときに限る。ゆえに$$T_{\max }={\displaystyle \frac{t^2}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{3\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{t^2}{3\sqrt{3}}}\mathrm{.}$$このとき $$x=\sqrt{t\mathrm{/}3}$$ である。