名古屋大学 2000年度 前期日程 第2次学力試験 ベクトル・図形と方程式理系数学 第4問(a)

光線の進行方向は $$\overrightarrow{l}=(-a_1,-a_2,-a_3)$$ であり、$\mathrm{\mid }\overrightarrow{l}\mathrm{\mid }=1$ である。影は、立方体を $\overrightarrow{l}$ に垂直な平面 $H$ へ正射影した図形である。

立方体の6面は、$yz$ 面に平行な2面、$zx$ 面に平行な2面、$xy$ 面に平行な2面に分けられる。正射影では、互いに反対側にある2面のうち、光の方向から見える側の1面だけが境界への寄与を持つと考えればよい。

たとえば $yz$ 面に平行な面の法線方向は $x$ 軸方向である。この面の面積は $1$ であり、平面 $H$ への射影面積は $$1\cdot \mathrm{\mid }\overrightarrow{l}\cdot (1,0,0)\mathrm{\mid }=a_1$$ である。同様に、$zx$ 面に平行な面からの寄与は $a_2$、$xy$ 面に平行な面からの寄与は $a_3$ である。

したがって影の面積は $a_1+a_2+a_3$ である。

立方体の3本の単位辺を平面 $H$ へ射影したベクトルを
$\mathit{u},\mathit{v},\mathit{w}$ とする。
影はこの3ベクトルが生成する六角形で、その面積は3つの平行四辺形面積の和になる。
各面積を光線方向との内積で求める。

座標軸方向の単位ベクトルを
${\mathit{e}}_1,{\mathit{e}}_2,{\mathit{e}}_3$ とし、
平面 $H$ への正射影をそれぞれ
$\mathit{u},\mathit{v},\mathit{w}$ とする。
立方体の影は$$\{s\mathit{u}+t\mathit{v}+r\mathit{w}\mid 0\leqq s,t,r\leqq 1\}$$であり、境界は一般に六角形になる。この六角形は、
$\mathit{u},\mathit{v}$、$\mathit{v},\mathit{w}$、
$\mathit{w},\mathit{u}$ が張る3つの平行四辺形へ分割できる。

${\mathit{e}}_2,{\mathit{e}}_3$ が張る単位正方形の
$H$ への射影面積は、法線 ${\mathit{e}}_1$ と
単位投影方向 $$\mathit{l}=(-a_1,-a_2,-a_3)$$ の内積の絶対値だから$${\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}}_H(\mathit{v},\mathit{w})=a_1\mathrm{.}$$ここで記号は平面 $H$ 上の平行四辺形面積を表す。
同様に残る2面積は $a_2,a_3$ である。したがって影の面積は$$a_1+a_2+a_3\mathrm{.}$$これは3方向の面が重ならず六角形を分割するため、重複を数えていない。