名古屋大学 2000年度 前期日程 第2次学力試験 ベクトル・図形と方程式文系数学 第3問(a)

(1) $$\overrightarrow{AB}=(0,-1,-1),\overrightarrow{AC}=(1,-1,-2)$$である。したがって$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{AB}{\mathrm{\mid }}^2=2,\mathrm{\mid }\overrightarrow{AC}{\mathrm{\mid }}^2=6,\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=3.$$三角形の面積を $S$ とすると、内積による面積公式から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 4S^2}& {\displaystyle =\mathrm{\mid }\overrightarrow{AB}{\mathrm{\mid }}^2\mathrm{\mid }\overrightarrow{AC}{\mathrm{\mid }}^2-(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\cdot 6-3^2=3.}\end{array}$$よって$$[ABC]={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\mathrm{.}$$(2)
直線 $PA$ を$$(3,1,4)+\lambda (-2,1,-1)$$と表す。$z=0$ より $\lambda =4$ なので$$A^{\mathrm{\prime }}=(-5,5,0)\mathrm{.}$$同様に$$\begin{array}{rlrl}{\displaystyle PB}& {\displaystyle :(3,1,4)+\lambda (-2,0,-2),}& {\displaystyle B^{\mathrm{\prime }}}& {\displaystyle =(-1,1,0),}\\ {\displaystyle PC}& {\displaystyle :(3,1,4)+\lambda (-1,0,-3),}& {\displaystyle C^{\mathrm{\prime }}}& {\displaystyle =({\displaystyle \frac{5}{3}},1,0)\mathrm{.}}\end{array}$$$B^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}$ は $y=1$ 上にあり、$$\mathrm{\mid }{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{8}{3}}\mathrm{.}$$$A^{\mathrm{\prime }}$ からこの直線までの距離は $4$ だから$$[A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}]={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{8}{3}}\cdot 4={\displaystyle \frac{16}{3}}\mathrm{.}$$

$\mathrm{△}ABC$ は3辺の長さを求め、余弦定理から高さを出す。
投影点は各直線の $z$ 座標の一次変化だけを先に見て求め、
$\mathrm{△}{A}^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}$ は $xy$ 平面上の底辺と高さで処理する。

(1) $$\mathrm{\mid }AB\mathrm{\mid }=\sqrt{2},\mathrm{\mid }BC\mathrm{\mid }=\sqrt{2},\mathrm{\mid }CA\mathrm{\mid }=\sqrt{6}\mathrm{.}$$$\mathrm{\angle }ABC=\theta$ とすると余弦定理より$$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }AB{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }BC{\mathrm{\mid }}^2-\mathrm{\mid }CA{\mathrm{\mid }}^2}{2\mathrm{\mid }AB\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }BC\mathrm{\mid }}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$したがって $\sin \theta =\sqrt{3}\mathrm{/}2$ であり、$$[ABC]={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{\mid }AB\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }BC\mathrm{\mid }\sin \theta ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\mathrm{.}$$(2)
$P$ から $A,B,C$ へ向かうと、$z$ 座標はそれぞれ$$4-\lambda ,4-2\lambda ,4-3\lambda$$と変化する。これを0とする $\lambda$ は $4,2,4\mathrm{/}3$ だから$$A^{\mathrm{\prime }}=(-5,5,0),B^{\mathrm{\prime }}=(-1,1,0),C^{\mathrm{\prime }}=({\displaystyle \frac{5}{3}},1,0)\mathrm{.}$$$B^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}$ の長さは $8\mathrm{/}3$、$A^{\mathrm{\prime }}$ から $y=1$ までの距離は4なので$$[A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}]={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{8}{3}}\cdot 4={\displaystyle \frac{16}{3}}\mathrm{.}$$